Có $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=(a+b)^2+(c+d)^2+e^2-2ab-2cd$

$=(a+b+c+d)^2+e^2 -2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$

$=(a+b+c+d+e)^2-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$

Mà $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\vdots 2;-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd \vdots 2$ nên $(a+b+c+d+e)^2 \vdots 2$

Suy ra $a+b+c+d+e \vdots 2$

$a;b;c;d;e$ nguyên dương nên $a+b+c+d>2$

suy ra $a+b+c+d+e$ là hợp số

Xét : \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)\)

        \(=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)

Vì \(a\) là  số nguyên dương nên \(a,\left(a-1\right)\) là hai số tự nhiên liên tiếp . 

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\) chia hết cho 2. Tương tự ta có : \(b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)\) đều chia hết cho 2.

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) là số chẵn . 

Lại có : \(a^2+c^2=b^2+d^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)\) là số chẵn .

Do đó : \(a+b+c+d\) là số chẵn mà \(a+b+c+d>2\) (Do \(a,b,c,d\inℕ^∗\))

Vậy : \(a+b+c+d\) là hợp số .

Xét : $\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)$

        $=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$

Vì $a$ là  số nguyên dương nên $a,\left(a-1\right)$ là hai số tự nhiên liên tiếp . 

$\Rightarrow a\left(a-1\right)$ chia hết cho 2. Tương tự ta có : $b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)$ đều chia hết cho 2.

$\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$ là số chẵn . 

Lại có : $a^2+c^2=b^2+d^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)$ là số chẵn .

Do đó : $a+b+c+d$ là số chẵn mà $a+b+c+d>2$ (Do $a,b,c,d\in N^{\ast }$)

Vậy : $a+b+c+d$ là hợp số .

 Theo hằng đẳng thức 
\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab;\) 
\(c^2+d^2=\left(c+d\right)^2-2cd\)    

\(\Rightarrow\)
\(a^2+b^2\)và \(a+b\) cùng chẵn, hoặc cùng lẻ; 
\(c^2+d^2\) và \(c+d\)cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với 
\(a^2+b^2=c^2+d^2\Rightarrow a+b\) và \(c+d\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Từ đó \(a+b+c+d\)chẵn, và vì \(a+b+c+d\ge4\)
 nên \(a+b+c+d\) là hợp số.

Xét ( a² + b² + c² + d² )  - ( a + b + c + d)

        = a(a -1)  + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)

Vì a là  số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp

=> a(a-1) chia hết cho 2. Tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2

=> a(a -1)  + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn

Lại có a² + c² = b² + d²=>  a² + b² + c² + d² = 2( b² + d²) là số chẵn.

Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2 (Do a, b, c, d thuộc N*)

 a + b + c + d là hợp số.

1/ Chứng minh nó chia hết cho 3:

Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x², y² chia cho 3 dư 1.

\(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\) chia cho 3 dư 2. Mà không có số chính phương chia 3 dư 2 nên ít nhất x, y chia hết cho 3.

\(\Rightarrow xy⋮3\)

Chứng minh chia hết cho 4.

Nếu cả x, y đều chẵn thì \(xy⋮4\)

Nếu trong x, y có 1 số lẻ (giả sử là x) thì z là số lẻ

\(\Rightarrow x=2k+1;y=2m;z=2n+1\)

\(\Rightarrow4m^2=4n^2+4n+1-4k^2-4k-1=4\left(n^2+n-k^2-k\right)\)

\(\Rightarrow m^2=\left(n^2+n-k^2-k\right)\)

\(\Rightarrow m⋮2\)

\(\Rightarrow y⋮4\)

\(\Rightarrow xy⋮4\)

Với x, y đều lẻ nên z chẵn

\(\Rightarrow x^2=4m+1;y^2=4n+1;z^2=4p\)

\(\Rightarrow\)Không tồn tại x, y, z nguyên thỏa cái này

Vậy \(xy⋮4\)

Từ chứng minh trên 

\(\Rightarrow xy⋮12\)

2/ \(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=2cd\)

\(\Leftrightarrow-2ab=-2cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=c-d\\a-b=d-c\end{cases}}\)

Kết hợp với \(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a=d\end{cases}}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

\(a^2+c^2+2ac+2bd=b^2+d^2+2ac+2bd\)

\(\left(a+c\right)^2-\left(b+d\right)^2=2\left(ac-bd\right)\)

\(\left(a+c+b+d\right)\left(a+c-b-d\right)=2\left(ac-bd\right)\)

Nếu ac =bd => a+c =b+d => a+c+b+d = 2(a +c) => là hợp số

Nếu ac -bd khác 0  => ?????????????????

Ta có: a+b+c+d-(a+b+c+d) = a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) Vì a,b,c,d nguyên dương nên a(a-1), b(b-1), c(c-1), d(d-1) là các số nguyên dương liên tiếp => a(a-1),b(b-1),c(c-1),d(d-1) chia hết cho 2 => a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) chia hết cho 2 Hay a+b+c+d-(a+b+c+d) chia hết cho 2 <=> 2( a+b) - (a+b+c+d) chia hết cho 2 (Vì a+b=c+d) Vì 2( a+b) chia hết cho 2, a+b+c+d-(a+b+c+d) chia hết cho 2 => a+b+c+d chia hết cho 2=> a+b+c+d là số chẵn Lại có: a+b+c+d ≥ 4 (a,b,c,d nguyên dương) Do đó a+b+c+d là hợp số, đccm. (Vì là số chẵn và lớn hơn 4).