Ta có: a+b+c=0\(\Leftrightarrow\)b+c=-a

Bình phương hai vế có: (b+c)²=a²

⇔ b²+2bc+c²=a²\(\Leftrightarrow\) b²+c²-a²=-2bc

Tương tự, ta có: c²+a²-b²=-2ca

                           a²+b²-c²=-2ab

→ A=\(-\dfrac{1}{2bc}-\dfrac{1}{2ca}-\dfrac{1}{2ab}=\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{2abc}=0\)(vì a+b+c=0)

Vậy A=0

ta có: a + b + c = 0 => a+b = - c => a² + 2ab + b² = c² => a² + b² - c² = - 2ab

tương tự như trên, ta có: b² + c² - a² = -2bc; c² + a² - b² = -2ac

thay vào A, có:

\(A=\frac{1}{-2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}\)

\(A=-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}\right)=-\frac{1}{2}.\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=-\frac{1}{2}.\left(\frac{0}{abc}\right)=0\)

KL: A = 0 tại a + b + c = 0

\(1,a+b+c=0\Leftrightarrow a=-b-c\Leftrightarrow a^2=b^2+2bc+c^2\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2-2bc\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=c^2-2ab\\c^2+a^2=b^2-2ac\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow N=\dfrac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2+2ca}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2+2ac}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc+3abc}{2abc}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}{2abc}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

1. a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a + b = -c \(\Rightarrow\)( a + b )² = ( -c )² \(\Rightarrow\)a² + b² - c² = -2ab

Tương tự : b² + c² - a2 = -2bc ; c² + a² - b² = -2ac

Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)

\(=\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}=\frac{-1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(=\frac{-1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=0\)

2. tương tự

3,4 . có ở dưới, câu hỏi của Quyết Tâm chiến thắng

a/ \(a+b+c=0\Leftrightarrow a=-b-c\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự : \(b^2-a^2-c^2=2ac\) , \(c^2-a^2-b^2=2ab\)

Suy ra \(A=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{1}{2abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Ta sẽ chứng minh nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Thật vậy : \(a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(-c\right)=3abc\) 

Áp dụng được \(A=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)

b/ Tương tự.