Mình không biết vẽ hình khi trả lời nên bạn tự vẽ nhé

Đầu tiên chứng minh \(NE=\frac{1}{6}AN\)

Qua E kẻ đường thẳng song song BF cắt AC tại K

Theo ta-lét ta có:

\(\frac{FK}{FC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}\)=>\(\frac{FK}{ÀF}=\frac{1}{6}=\frac{NE}{AN}\)

Từ E,N,C kẻ các đường cao tới AB lần lượt là H,G,I

Theo talet ta có

\(\frac{EH}{CI}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3},\frac{NG}{EH}=\frac{AN}{AE}=\frac{6}{7}\)

=> \(\frac{NG}{CI}=\frac{2}{7}\)=> \(\frac{NG.AB}{CI.AB}=\frac{2}{7}\)

=> \(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

Tương tự \(\frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\),\(\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

=> \(S_{MNP}=S_{ABC}-S_{AMC}-S_{ABN}-S_{BCP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

Vậy \(S_{MNP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

Ta có : \(Sin\frac{A}{2}=Sin\widehat{BAM}=Sin\widehat{CAM}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{CA}\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{b}=\frac{CK}{c}\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{BH.CK}{bc}\)

Lại có : \(BH\le BM;CK\le CM\) 

\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}\le\frac{BM.CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{\frac{BC^2}{4}}{bc}=\frac{a^2}{4bc}\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\) (đpcm)

oh

Đặt a+b-c=x

       b+c-a=y

      c+a-b=z

\(A=\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\)

Ta có a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x;y;z>0

\(4A=\frac{2a.2b}{x}+\frac{2b.2c}{y}+\frac{2c.2a}{z}\)

\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{z}\)

\(=3\left(x+y+z\right)+\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)

\(\ge3\left(x+y+z\right)+\frac{\left(x+y+z\right)xyz}{xyz}\)\(=4\left(x+y+z\right)=4\left(a+b+c\right)\)  (Do x;y;z>0)

\(\Rightarrow A\ge a+b+c\)

làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại

Số số hạng là : 

Có số cặp là :

50 : 2 = 25 ( cặp )

Mỗi cặp có giá trị là :

99 - 97 = 2 

Tổng dãy trên là :

25 x 2 = 50

Đáp số : 50

Tự vẽ hình babe :))

Kẻ  \(BD\perp AC\);  \(CE\perp AB\)

Xét  \(\Delta ADB\)có  \(\sin A=\frac{BD}{AB}\) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC\times AB}{BD}\left(1\right)\)

Xét  \(\Delta AEC\)có  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA\times BC}{EC}\left(2\right)\)

Xét  \(\Delta BEC\)có  \(\sin B=\frac{EC}{BC}\) \(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA\times BC}{EC}\left(3\right)\)

Xét  \(\Delta BDC\)có  \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{BD}{BC}=\frac{AB\times BC}{BD}\left(4\right)\)

Từ (1); (2); (3) và (4)  \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)