`A=(9(x-2)+18)/(2-x)+2/x`

`=-9+18/(2-x)+2/x`

`=-9+2(9/(2-x)+1/x)`

Áp dụng bđt cosi-schwarts ta có:

`9/(2-x)+1/x>=(3+1)^2/(2-x+x)=8`

`=>A>=16-9=7`

Dấu "=" xảy ra khi `3/(2-x)=1/x`

`<=>3x=2-x`

`<=>4x=2<=>x=1/2(tm)`

b

`y=x/(1-x)+5/x`

`=(x-1+1)/(1-x)+5/x`

`=1/(1-x)+5/x-1`

Áp dụng cosi-schwarts ta có:

`1/(1-x)+5/x>=(1+sqrt5)^2/(1-x+x)=(1+sqrt5)^2=6+2sqrt5`

`=>y>=5+2sqrt5`

Dấu "=" xảy ra khi `1/(1-x)=sqrt5/x`

`<=>x=sqrt5-sqrt5x`

`<=>x(1+sqrt5)=sqrt5`

`<=>x=sqrt5/(sqrt5+1)=(sqrt5(sqrt5-1))/(5-1)=(5-sqrt5)/4`

`c)C=2/(1-x)+1/x`

Áp dụng bđt cosi schwarts ta có:

`C>=(sqrt2+1)^2/(1-x+x)=3+2sqrt2`

Dấu "=" xảy ra khi `sqrt2/(1-x)=1/x`

`<=>sqrt2x=1-x`

`<=>x(sqrt2+1)=1`

`<=>x=1/(sqrt2+1)=(sqrt2-1)/(2-1)=sqrt2-1`

cho hỏi là câu a sao lại thế ở mấy dòng đầu ạ

a) \(A=x^2-6x+10=\left(x^2-6x+9\right)+1=\left(x-3\right)^2+1\ge1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=3\). \(min_A=1\)

b) \(B=3x^2+x-2=3\left(x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}\right)=3\left(x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{36}-\dfrac{25}{36}\right)=3\left(x+\dfrac{1}{6}\right)^2-\dfrac{25}{12}\ge\dfrac{-25}{12}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6}\). \(min_B=\dfrac{-25}{12}\)

c) \(C=\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{3}{x}-1=\left(\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{16}\right)-\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{25}{16}\ge\dfrac{-25}{16}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-3\). \(min_C=\dfrac{-25}{16}\)

d) \(D=x^2+y^2-x+3y+7=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y^2+3y+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{9}{2}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}\ge\dfrac{9}{2}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\). \(min_D=\dfrac{9}{2}\)

Ta có: x - y = 2 => x = 2 + y

A = x³ - y³ = (X - y)(x² + xy + y²) = 2(x² + xy + y²) = 2(x² - 2xy + y²) + 6xy = 2(x - y)² + 6xy = 8  + 6xy

A = 8 + 6y(2 + y) = 8 + 12y + 6y² = 6(y² + 2y + 1) + 2 = 6(y + 1)² + 2 \(\ge\)2 \(\forall\)y

Dấu "=" xảy ra <=> y + 1 = 0 <=> y = -1 <=> x = 2 - 1 = 1

Vậy MinA = 2 khi x = 1 và y = -1

x - y = 2 => y = x - 2

Khi đó: B = 2x² + y² = 2x² + (x-  2)² = 2x² + x² - 4x + 4 = 3x² - 4x + 4 = 3(x² - 4/3x + 4/9) + 8/3 = 3(x - 2/3)² + 8/3 \(\ge\)8/3 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 2/3 = 0 <=> x = 2/3 => y = 2/3 - 2 = -4/3

Vậy MinB = 8/3 khi x = 2/3 và y = -4/3

\(A=2x^2+\dfrac{4}{x}=2x^2+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8x^2}{x^2}}=6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=1\)

\(B=x^3+\dfrac{3}{x}=x^3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^3}{x^3}}=4\)

\(B_{min}=4\) khi \(x=1\)

Các bài này em áp dụng công thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\). Dấu "=" xảy ra khi tích \(a.b\ge0\),

a) Ta có : \(x-y=3\Rightarrow x=3+y\).

Do đó : \(B=\left|x-6\right|+\left|y+1\right|\)

\(=\left|3+y-6\right|+\left|y+1\right|=\left|3-y\right|+\left|y+1\right|\)

\(\ge\left|3-y+y+1\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(3-y\right)\left(y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le y\le3\\2\le x\le6\end{cases},x-y=3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B=4\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le y\le3\\2\le x\le6\end{cases},x-y=3}\)

b) Ta có : \(x-y=2\Rightarrow x=2+y\)

Do đó \(C=\left|2x+1\right|+\left|2y+1\right|\)

\(=\left|2y+5\right|+\left|2y+1\right|=\left|-2y-5\right|+\left|2y+1\right|\)

\(\ge\left|-2y-5+2y+1\right|=4\)

Các câu khác tương tự nhé em !

Làm nốt câu c

                                                  Bài giải

c, Ta có : 

\(D=\left|2x+3\right|+\left|y+2\right|+2\ge\left|2x+3+y+2\right|+2=\left|3+3+2\right|+2=8+2=10\)

Dấu " = " xảy ra khi \(2x+y=3\)

Vậy \(\text{​​Khi }2x+y=3\text{​​ }Min_D=10\)

Lời giải:

a) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((y-2x)^2\leq (16y^2+36x^2)(\frac{1}{16}+\frac{1}{9})=9.\frac{25}{144}\)

\(\Rightarrow \frac{-5}{4}\leq y-2x\leq \frac{5}{4}\Rightarrow \frac{15}{4}\leq y-2x+5\leq \frac{25}{4}\)

Vậy $A_{\min}=\frac{15}{4}$ và $A_{\max}=\frac{25}{4}$

b) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((2x-y)^2\leq (\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9})(16+9)=25\)

\(\Rightarrow -5\leq 2x-y\leq 5\Leftrightarrow -7\leq 2x-y-2\leq 3\)

Vậy $B_{min}=-7; B_{\max}=3$

a: \(\left(2x-y+7\right)^{2022}>=0\forall x,y\)

\(\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x\)

=>\(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x,y\)

mà \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}< =0\forall x,y\)

nên \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+7=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2x+7=9\end{matrix}\right.\)

\(P=x^{2023}+\left(y-10\right)^{2023}\)

\(=1^{2023}+\left(9-10\right)^{2023}\)

=1-1

=0

c: \(\left|x-3\right|>=0\forall x\)

=>\(\left|x-3\right|+2>=2\forall x\)

=>\(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2>=4\forall x\)

mà \(\left|y+3\right|>=0\forall y\)

nên \(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y+3\right|>=4\forall x,y\)

=>\(P=\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y-3\right|+2019>=4+2019=2023\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-3=0

=>x=3 và y=3

a. giá trị nhỏ nhất của B=3 khi và chỉ khi x=y=1006