Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh

Ta có

\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)

AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)

Ta có

\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O

Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN

\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)

Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co: 

$I$ là trung điểm của $MN\; va\; MN\; la\; day\; cung\; cua\; (O)$

$=>\; OE\; vuong\; goc\; voi\; MN\; tai\; I$

$hay\; goc\; AIE=\; 90\; (1)$

$Mat\; khac,\; ta\; lai\; co\; A\; nam\; ngoai\; (O);$

$AC\; va\; AB\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> AO vuong goc voi BC

hay goc AHE = 90 (2)

tu (1) va (2) => tu giac AHIE noi tiep (vi co 2 goc ke bang nhau)

a: Xét tứ giác OBKC có \(\widehat{OBK}+\widehat{OCK}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBKC là tứ giác nội tiếp

=>O,B,K,C cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: ΔOMN cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc MON

Xét ΔMOA và ΔNOA có

OM=ON

\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\)

OA chung

Do đó: ΔMOA=ΔNOA

=>\(\widehat{OMA}=\widehat{ONA}\)

=>\(\widehat{ONA}=90^0\)

=>AN là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

KB,KC là tiếp tuyến

Do đó: KB=KC

=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của BC

=>OK\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC

Xét ΔOBK vuông tại B có BI là đường cao

nên \(OI\cdot OK=OB^2\)

=>\(OI\cdot OK=ON^2\left(3\right)\)

d: Xét ΔNOA vuông tại N có NH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=ON^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)

Xét ΔOIA và ΔOHK có

\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)

\(\widehat{HOK}\) chung

Do đó: ΔOIA đồng dạng với ΔOHK

=>\(\widehat{OIA}=\widehat{OHK}\)

=>\(\widehat{OHK}=90^0\)

mà \(\widehat{OHM}=90^0\)

nên K,H,M thẳng hàng

mà M,H,N thẳng hàng

nên K,M,N thẳng hàng

CẬu tự vẽ hình nha tớ vẽ hình gửi vào đây nó không cs hiện lên

a) Ta có góc OAM= góc OBM=90 độ (tính chất tiếp tuyến)

=> Tứ giác MAOB nội tiếp

b) xét tam giác MAC và tam giác MDA có

góc DMA chung

góc MAC= góc MDA=1/2 sđ cung AC

=> tam giác MAC đồng dạng tam giác MDA

=>\(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MB}{MD}\)(vì MB=MA do tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)(1)

xét tam giác MBC và tam giác MDB có

góc DMB chung

 góc MBC = góc MDB=1/2 sđ cung BC

=> tam giác MBC đồng dạng MDB

=>\(\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{MB}{MD}\)(2)

Từ (1) và (2)=>\(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{DB}\Rightarrow AC.BD=BC.AD\)

mà N là điểm di động trên đoạn OA là mình vẽ được N bắt kì điểm nào trên OA phải không bạn

a, Ta có SA = SB (tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

OA = OB = R

Vậy OS là đường trung trực đoạn AB 

=> SO vuông AB tại H

b, Vì I là trung điểm 

=> OI vuông NS 

Xét tứ giác IHSE ta có ^EHS = ^EIS = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh ES

Vậy tứ giác IHSE nt 1 đường tròn 

=> ^ESH = ^HIO ( góc ngoài đỉnh I ) 

Xét tam giác OIH và tam giác OSE có 

^HIO = ^OSE (cmt) 

^O_ chung 

Vậy tam giác OIH ~ tam giác OSE (g.g) 

\(\dfrac{OI}{OS}=\dfrac{OH}{OE}\Rightarrow OI.OE=OH.OS\)

Xét tam giác OAS vuông tại A ( do SA là tiếp tuyến với A là tiếp điểm), đường cao AH ta có 

\(OA^2=OH.OS\)(hệ thức lượng) 

\(\Rightarrow OA^2=R^2=OI.OE\)