Ta có : (a+b)/(a+b+c)<(a+b)/(a+b+c+d) ; (b+c)/(b+c+d)<(b+c)/(a+b+c+d) ; (c+d)/(c+d+a)>(c+d)(a+b+c+d) ; (a+d)/(a+b+d)>(a+d)(a+b+c+d)

Cộng 4 bất đẳng thức trên rồi rút gọn vế phải sẽ ra kết quả như đề bài

Trên trường tui không nghĩ ra về nhà mới phát hiên ra được

Cho mk hỏi bạn TMDuc va TNVuong thi cùng trường à. Sao lại có bài chung thế.

giúp  mình với nhé!

\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)

=> VT >/ 2

Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)

\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)

\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d 

                              b = c+d+a 

                            c = b+a+d

                             d = a+b+c 

Hình như ko có a ; b; c ;d 

Ta có :   2a + b + c+ d / a - 1 = a + 2b + c + d / b - 1 = a + b + 2c + d / c - 1 = a + b + c +2d / d - 1

  => a + b + c + d / a =  a + b + c + d / b = a + b + c + d / c = a + b + c + d / d

Xét 2 trường hợp : 

TH1:   a + b + c + d = 0

=> a + b = - ( c + d )   ;   b + c = - ( a + d )   ;   c + d = - ( a + b )

Khi đó M = ( -1 ) . 4 = -4

TH2 :  a + b + c + d  khác 0 

=> a = b = c = d

Khi đó M = 1 . 4 = 4

Vậy M = 4 hoặc M = - 4

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{a+b+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(A>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)

\(A>1\)

dễ mà, tick đi, mik giải cho

mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được :

\(\frac{2a+b+c+d}{a}\) - 1 = \(\frac{a+2b+c+d}{b}\)  - 1 = \(\frac{a+b+2c+d}{c}\)  - 1 = \(\frac{a+b+c+2d}{d}\)  - 1 

\(\frac{a+b+c+d}{a}\)   = \(\frac{a+b+c+d}{b}\)  = \(\frac{a+b+c+d}{c}\)  = \(\frac{a+b+c+d}{d}\)  

- Nếu a+b+c+d \(\ne\)  0 thì a = b = c =d lúc đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

- Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - ( c + d ) ; b + c = - ( d + a )

                                            c + d = - ( a + b ) ; d + a = - ( b + c )

Lúc đó : M= (-1 ) + (-1) + (-1) + (-1) = -4

Lấy 1 điểm O tùy ý , Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung , mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa 2 đường thẳng tronh số 9 đường thẳng đã cho . Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 360 độ do đó ít nhất có một góc nhỏ hơn 360 : 18 = 20 , từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20 độ

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)

Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)

Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)

Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:

Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đây là điều hiển nhiên.

a/(b+c)+c/(a+d)=a^2+ad+c^2+bc/(a+d)(b+c)>=4(a^2+ad+c^2+bc)/(a+b+c+d)^2(BĐT 1/xy>=4/(x+y)^2

Tương tự rồi cộng lại ta có a/b+c+c/a+d+b/c+d+d/a+b>=4(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)/(a+b+c+d)^2=A

>>>Ta sẽ chứng minh A>=1/2 hay 2(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da)>=(a+b+c+d)^2

 tương đương với a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd>=0<<->>(a-c)^2+(b-d)^2>=0(luôn đúng)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=c và b=d

đây là Nesbit 4 số

nếu như gặp bđt Nesbit thì làm thế này:

đặt \(B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}\)

\(C=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}\)

\(B+C=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)

\(A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\ge4\)(theo cô si)

\(A+C=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(\Rightarrow2A+B+C\ge8\Rightarrow2A+4\ge8\Rightarrow A\ge2\)

dấu bằng khi a=b=c=d