\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{y}=1\) ⇔ \(\dfrac{4}{x}=1-\dfrac{2}{y}\) ⇔\(x=\dfrac{4}{\dfrac{y-2}{y}}=\dfrac{4y}{y-2}\)

- Vì x, y nguyên nên 4y ⋮ y-2 

⇔4(y-2)+8 ⋮ y-2

⇔8 ⋮ y-2

⇔y-2∈{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8}

⇔y∈{3;1;4;0;6;-2;10;-6}

=>x∈{12;-4;8;0;6;2;5;3}

\(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=4\)

\(\Rightarrow x+y+\dfrac{x+y}{xy}=4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=4xy\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\) với \(u;v\in Z\) và \(u^2\ge4v\); \(v\ne0\)

\(\Rightarrow u\left(v+1\right)=4v\)

\(\Rightarrow u=\dfrac{4v}{v+1}=4-\dfrac{4}{v+1}\)

\(\Rightarrow v+1=Ư\left(4\right)\Rightarrow v+1=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow v=\left\{-5;-3;-2;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow u=\left\{5;6;8;2;3\right\}\)

Loại cặp \(\left(u;v\right)=\left(3;3\right)\) không thỏa mãn \(u^2\ge4v\)

Ta được \(\left(u;v\right)=\left(5;-5\right);\left(6;-3\right);\left(8;-2\right);\left(2;1\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=-5\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=-3\end{matrix}\right.\) ko tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=8\\xy=-2\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy pt có đúng 1 cặp nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

1, ĐKXĐ:\(x\ne2,y\ne1\)

Đặt `1/(x-2)` = a, `1/(y-1)` = b

\(Hệ.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a-3b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{7}{5}\\b=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-14=5\\3y-3=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{7}\\y=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)\(2,\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)

b, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=4m\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2-x_1x_2=3\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=3\\ \Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-5.4m-3=0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-20m-3=0\\ \Leftrightarrow4m^2-12m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

1) Xét x=7k (k ∈ Z) thì x³ ⋮ 7

Xét x= \(7k\pm1\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm2\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm3\)\(\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Do vế trái của pt chia cho 7 dư 0,1,6 còn vế phải của pt chia cho 7 dư 2. Vậy pt không có nghiệm nguyên.

3) a, Ta thấy x,y,z bình đẳng với nhau, không mất tính tổng quát ta giả thiết x ≥ y ≥ z > 0 <=> \(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\) ,ta có: 

\(1=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{z}< =>z\le3\)

Kết luận: nghiệm của pt là ( x;y;z): (6:3:2), (4;4;2), (3;3;3) và các hoán vị của nó (pt này có 10 nghiệm).

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}=\frac{1}{2}\)

=>\(\frac{x+y}{xy}-\frac{1}{2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{-\left(x-2\right)y-2x}{2xy}=0\)

=>(x-2)y-2x=0

=>x-2=0( vì x-2=0 thì nhân y-2x ms =0 )

=>x=2

=>y-2=0

=>y=2

vậy x=y=2

Bài 2: 

a) Ta có: \(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2-2\right)\)
\(=m^2-2m+1+4m^2+8\)

\(=5m^2-2m+9>0\forall m\)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 1:

ĐKXĐ \(2x\ne y\)

Đặt \(\dfrac{1}{2x-y}=a;x+3y=b\)

HPT trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{3}{2}\\4a-5b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}-b\\4\left(\dfrac{3}{2}-b\right)-5b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}-b\\6-9b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{8}{9}\\a=\dfrac{11}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\dfrac{8}{9}\\2x-y=\dfrac{18}{11}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-\dfrac{18}{11}\\x+3\left(2x-\dfrac{18}{11}\right)=\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{82}{99}\\y=\dfrac{2}{99}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)