Trả lời phần d thôi nhé

a, Vì △ABC cân tại A => AB = AC và ABC = ACB

Xét △BAH và △CAH cùng vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

      AB = AC (cmt)

=> △BAH = △CAH (ch-cgv)

b, Vì △BAH = △CAH (cmt)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

mà BH + CH = BC

=> BH = CH = BC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)

Xét △BAH vuông tại H có: AH² + BH² = AB² (định lý Pytago)

=> AH² = AB² - BH² = 10² - 6² = 64

=> AH = 8 (cm)

c, Vì EH // AC (gt) => ∠HAC = ∠AHE (2 góc so le trong)

Mà ∠HAC = ∠HAB (△CAH = △BAH)

=> ∠AHE = ∠HAB  => ∠AHE = ∠HAE 

=> △AHE cân tại E

d, Gọi { I } = EH ∩ BF

Vì HE // AC (gt) => ∠EHB = ∠ACB (2 góc đồng vị)

Mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)

=> ∠EHB = ∠ABC => ∠EHB = ∠EBH => △EHB cân tại E => EB = EH

Mà EA = HE (△AHE cân tại E)

=> EA = BE 

Xét △BAH có: E là trung điểm AB (EA = BE)  => HE là đường trung tuyến

F là trung điểm AH => BF là đường trung tuyến 

EH ∩ BF = { I } 

=> I là trọng tâm của △BAH

\(\Rightarrow BI=\frac{2}{3}BF\) và \(HI=\frac{2}{3}EH\)

Xét △BHI có: BI + HI > BH (bđt △)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}BF+\frac{2}{3}EH>\frac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\left(BF+EH\right)>\frac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow BF+EH>\frac{BC}{2}\div\frac{2}{3}=\frac{BC}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}BC\) (đpcm)

trả lời phần d thôi nhé

c)\(\Delta\)BHA vuông tại A 

=> ^ABH + ^BAH = 90 độ 

mà ^BHE +^EHA = 90 độ 

mà ^BAH = ^EHA  ( vì  \(\Delta\)AEH cân  tại E) 

=> ^ABH = ^BHE =>  \(\Delta\)BEH cân tại E

Gọi K là trung điểm BH => EK vuông BH 

vì \(\Delta\)AEH cân => EF vuông AH 

=> \(\Delta\)EKH = \(\Delta\)HFE => EF = KH = 1/2 BH = 1/4 BC 

Ta có: \(\Delta\)EFH vuông tại F => EH > EF = 1/4 BC 

\(\Delta\)BFH vuông tại H => BF >  BH = 1/2 BC

=> BF + HE > 1/4 BC + 1/2 BC = 3/4 BC

a, xét tam giác AHB và tg AHC có : ^AHC = ^AHB = 90

AB = AC do tg ABC cân tại A (gt)

^ABC = ^ACB do tg ABC ... 

=> tg AHB = tg AHC (ch-gn)

b, tg ABC cân tại A (Gt) mà có AH là đường cao   (1)

=> AH đồng thời là đường trung tuyến

=> H là trung điểm của BC 

=> BH = 1/2BC = 6 cm

tg AHB vuông tại H (gt) => AB^2 = AH^2 + HB^2 (ĐL pytago)

AB = 10 (gt)

=> AH = 8 do AH > 0

c,   (1) => AH đồng thời là pg của ^BAC (đl)

=> ^CAH = ^BAH (đn)

có HE // AC (gt) ; ^CAH slt ^AHE => ^CAH = ^AHE (đl)

=> ^BAH = ^AHE 

=> tg AHE cân tại E (dh)

1: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

2: Ta có: H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA^2=10^2-6^2=64\)

=>\(HA=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

3: Xét ΔAHN có

AF là đường cao

AF là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHN cân tại A

=>AH=AH

4: Xét ΔAHM có

AE là đường trung tuyến

AE là đường cao

Do đó: ΔAHM cân tại A

=>AM=AH

Ta có: ΔAHN cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAN

=>\(\widehat{HAN}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: ΔAHM cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là phân giác của góc HAM

=>\(\widehat{HAM}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Ta có: AM=AH

AH=AN

Do đó: AM=AN

Ta có: \(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}=\widehat{MAN}\)

=>\(\widehat{MAN}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{MAN}=2\cdot\widehat{BAC}\)

Để A là trung điểm của MN thì AM=AN và góc MAN=180 độ

=>góc MAN=180 độ

=>\(2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔAHB=ΔAHC

b: ΔABC cân tại A

mà AH là trung tuyến

nên AH là phân giác

c: Xet ΔAEH vuôngtại E và ΔAFH vuông tại F có

AH chung

góc EAH=góc FAH

=>ΔAEH=ΔAFH

=>AE=AF
=>ΔAEF cân tại A

mà AI là phân giác

nên AI là trung tuyến

a, tgABC cân tại A suy ra gócABC=gócACB, AB=AC

AH⊥BC ⇒ gócAHB=gócAHC

Xét △ABH và △ACH có:

gócABC=gócACB,AB=AC,gócAHB=gócAHC (C/m trên)

⇒ △ABH=△ACH (ch-gn)

b, Ta có △ABH=△ACH ➩ gócDAH=gócEAH (2 góc tương ứng)

Xét △DAH và △EAH có

gócDAH=gócEAH (c/m trên), ADH=gócAEH=90độ (DH⊥AB, HE⊥AC)

AH là cạnh chung

⇒ △DAH=△EAH (ch-gn) ⇒ AD=AE (2 cạnh tương ứng)

⇒ △ADE cân tại A

c, △ABC cân tại A ⇒ gócB=\(\dfrac{180độ-gócA}{2}\)

△ADE cân tại A ⇒ gócC=\(\dfrac{180độ-gócA}{2}\)

⇒gócB=gócC , mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

⇒ DE//BC