a, 

1  Ta có ÐCAB = 90⁰ ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐMDC = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>ÐCDB = 90⁰ như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên A và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.

     ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐD₁= ÐC₃( nội tiếp cùng chắn cung AB).

ÐD₁= ÐC₃ => => ÐC₂ = ÐC₃ (hai góc nội tiếp đường tròn  (O) chắn hai cung bằng nhau)

=> CA là tia phân giác của góc SCB.

2, Xét DCMB Ta có BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác  CMB nên BA, EM, CD đồng quy.

3, 

Ta có ÐMEC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ÐMEB = 90⁰.

Tứ giác AMEB có ÐMAB = 90⁰ ; ÐMEB = 90⁰ => ÐMAB + ÐMEB = 180⁰ mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn  => ÐA₂ = ÐB₂ .

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐA₁= ÐB₂( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ÐA₁= ÐA₂ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  ADE

a: Xét tứ giác CAOM có

góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

CA,CM là tiêp tuyến

nên CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

CM*MD=OM^2

=>CA*BD=R^2

c: CA=CM

OA=OM

=>CO là trung trực của AM

=>CO vuông góc với AM

=>CO//BK

Xét ΔABK có

O là trung điểm của AB

OC//BK

Do đó: C là trung điểm của AK

c.

\(CM=AC\) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)

\(\widehat{KMC}=\widehat{DMB}\) (đối đỉnh) 

Mà \(DM=DB\) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow\Delta DMB\) cân tại D

\(\Rightarrow\widehat{DMB}=\widehat{DBM}\Rightarrow\widehat{KMC}=\widehat{DBM}\)

Lại có: \(\widehat{DBM}=\widehat{AKB}\) (cùng phụ \(\widehat{ABK}\)) 

\(\Rightarrow\widehat{KMC}=\widehat{AKB}\Rightarrow\Delta CKM\) cân tại C

\(\Rightarrow CK=CM\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CK=CA\) hay C là trung điểm AK

d.

Qua A kẻ đường thẳng song song BM cắt BD kéo dài tại E

\(\Rightarrow AKBE\) là hbh (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow\) 2 đường chéo KE và AB cắt nhau tại trung điểm O của AB

Hay K, O, E thẳng hàng

Theo t/c 2 tiếp tuyến ta có \(OD\perp BM\) \(\Rightarrow OD\perp AE\)

Đồng thời \(AB\perp DE\) (gt)

\(\Rightarrow\) O là trực tâm tam giác ADE

\(\Rightarrow OE\perp AD\)

\(\Rightarrow OK\perp AD\)

a: Xét tứ giác CAOK co

góc CAO+góc CKO=180 độ

nên CAOK là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

CK,CA là tiếp tuyến

nên CK=CA và OC là phân giác của góc AOK(1)

Xét (O) có

DK,DB là tiếp tuyến

nên DK=DB và OD là phân giác của góc KOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

OK^2=KC*KD

=>AC*BD=R^2 ko đổi

c: Xét ΔOAK có OA=OK=AK

nên ΔOAK đều

=>gócc AOK=60 độ

=>góc KOB=120 độ

=>góc KDB=60 độ

mà DK=DB

nên ΔDKB đều