a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

b) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=6\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Không khó nha,!

\(\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2};\frac{z^3}{x\left(y+2z\right)}\ge\frac{x+y+z}{3}\)

Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\geq 1$

$\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\geq 1$

$\frac{1}{c}+\frac{c}{4}\geq 1$

Cộng theo vế:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
b.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{a^2}{c}+c\geq 2a$

$\frac{b^2}{a}+a\geq 2b$

$\frac{c^2}{b}+b\geq 2c$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+(c+a+b)\geq 2(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c=6$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)

\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)

Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)

Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)

Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1

Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.

đề sai upp làm gì ?

đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)