-Gọi G là trọng tâm của △ABC đều \(\Rightarrow\)G cũng là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp △ABC.

\(\Rightarrow AG=BG;\)AG là p/g của \(\widehat{BAC};\)BG là p/g của \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBG}=\widehat{EAG}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

-△BDG và △AEG có: 

\(\widehat{DBG}=\widehat{EAG}\)

\(BD=AE\)

\(BG=AG\)

\(\Rightarrow\)△BDG=△AEG (c-g-c) nên \(DG=EG\)

\(\Rightarrow\)Đg trung trực của đoạn DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi D,E thay đổi (điểm đó là G-trọng tâm của △ABC)

Tham khảo:

Trên cạnh CA lấy điểm K sao cho CK = AB. Gọi G là giao điểm của các đường trung trực của AK và BC.

Theo tính chất đường trung trực, ta có: GA = GB, GA = GK

Xét \(\Delta GBA\)và \(\Delta GCK\)có:

    AG = KG (cmt)

   AB = KC (theo cách chọn điểm phụ)

   GB = GC (cmt)

Do đó \(\Delta GBA\)\(=\Delta GCK\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GBD}=\widehat{GCE}\)(hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta GBD\)và \(\Delta GCE\)có :

      GB = GC (cmt)

      \(\widehat{GBD}=\widehat{GCE}\)(cmt)

      BD = CE (gt)

Do đó \(\Delta GBD\)\(=\Delta GCE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow GD=GE\)(hai cạnh tương ứng)

Vậy đường trung trực của DE luôn đi qua điểm cố định G.(đpcm)

a/ Xét tam giác MNC có: 

I trung điểm MN

K trung điểm MC

Vậy IK là đường trung bình của tam giác MNC

=> IK = 1/2 NC (1)

Mặt khác, xét tam giác MCB có: 

K trung điểm MC

J trung điểm BC

Vậy KJ là đường trung bình tam giác MCB

=> KJ =1/2 BM (2)

mà BM = CN (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) => IK = KJ

=> Tam giác IKJ cân tại K

Lại có IK // NC (tính chất đường trung bình trong tam giác)

=> góc KIJ = góc CEJ (đồng vị) (4)

KJ // BM (tính chất đường trung bình trong tam giác)

=> góc KJI = ADJ (so le trong) (5)

mà góc KIJ = góc KJI (tam giác IKJ cân tại K) (6)

Từ (4), (5), (6) => góc ADE = góc AED

=> Tam giác ADE cân tại A (đpcm)

b/ Ko biết làm ^^

c/ Ko biết làm ^^