Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
12 tháng 1 2017
Đáp án B
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.
Δ A C D = Δ B C D ⇒ A N = B N ⇒ Δ N A B cân tại N ⇒ M N ⊥ A B
Tương tụ ta có M N ⊥ C D .
Ta có: P Q = R S = M N = A N 2 − A M 2 = a 3 2 2 − a 2 4 = a 2 2 .
Suy ra d G , A B = d G , C D = 1 2 M N = a 2 4 .
Chứng minh tương tự ta có d G , A C = d G , A D = d G , B D = d G , B C = a 2 4
Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.
Bán kính mặt cầu R = a 2 4 . Suy ra thể tích khối cầu là V = 4 3 π R 3 = 4 3 π a 2 4 3 = 2 π a 3 24 .
PT
1
CM
14 tháng 7 2018
Đáp án C
Gọi M là trung điểm của CD, H là trọng tâm của tam giác BCD.
Ta có A H ⊥ B C D (giả thiết ABCD là tứ diện đều)
PT
1
CM
30 tháng 11 2019
Chọn C
Gọi M là trung điểm của CD, H là trọng tâm của tam giác BCD
CM
15 tháng 4 2018
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của CD , H là trọng tâm của tam giác BCD.
Ta có AH ⊥ BCD (giả thiết ABCD là tứ diện đều) suy ra
CM
19 tháng 6 2018
Đáp án A
Nối 
chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện gồm PQD.NMB và khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích A.
Dễ thấy P,Q lần lượt là trọng tâm của ∆BCE, ∆ABE
Gọi S là diện tích 
Họi h là chiều cao của tứ diện ABCD 
Khi đó 
Suy ra
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác \(ABC\) đều
\( \Rightarrow AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)