Ta có \(f'\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Rightarrow f''\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Mặt khác \( - 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 4 \le f''\left( x \right) \le 4\)

Vậy \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.

\(f\left(-x\right)=\left|-sinx-cosx\right|-\left|-sinx+cosx\right|\)

\(=\left|sinx+cosx\right|-\left|sinx-cosx\right|=-f\left(x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\)

\(\Rightarrow T=f\left(-\pi\right)+f\left(\pi\right)+f\left(-\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)+...+f\left(-\frac{\pi}{n}\right)+f\left(\frac{\pi}{n}\right)+f\left(0\right)\)

\(=0+0+...+0+f\left(0\right)=f\left(0\right)\)

\(=1-1=0\)

Lời giải:

Ta có:

\(f(x)=\sin ^2\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+\sin ^2\left(\frac{\pi}{6}+x\right)\)

\(\Rightarrow f'(x)=2\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right).-\cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)+2\sin \left(\frac{\pi}{6}+x\right)\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right)\)

\(f'(x)=-\sin 2\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+\sin 2\left(\frac{\pi}{6}+x\right)\)

Áp dụng công thức: \(\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\) suy ra:

\(f'(x)=-\sin \left(\frac{\pi}{3}-2x\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}+2x\right)\)

\(f'(x)=2\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\sin 2x=\sin 2x\) (đpcm)

dạ e cảm ơn ạ

Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Từ đó suy ra f'(x)=0

a) ;

b) ;

c) (\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0

d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin⁵x.cosx - 6cos⁵x.sinx + 6sinx.cos³x - 6sin³x.cosx = 6sin³x.cosx(sin²x - 1) + 6sinx.cos³x(1 - cos²x) = - 6sin³x.cos³x + 6sin³x.cos³x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2:

y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x(sin²x + cos²x) = sin⁶x + 3sin⁴x.cos²x + 3sin²x.cos⁴x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)³ = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos²u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin - sin] + [sin - sin] - 2sin2x = 2cos.sin(-2x) + 2cos.sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos = cos = .

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

cos² = cos² '

cos² = cos² .

Do đó

y = 2 cos² + 2cos² - 2sin²x = 1 +cos + 1 +cos - (1 - cos2x) = 1 +cos + cos + cos2x = 1 + 2cos.cos(-2x) + cos2x = 1 + 2cos2x + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

\(f'\left(x\right)=2x+3sin^2\left(x\right)cos\left(x\right)\\ \Rightarrow f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi\)

\(\Rightarrow\) Chọn A.