Ta có: \(\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz}{x+y+z}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-yz-zx-3xy\right)}{x+y+z}\)

\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\left(\forall x,y,z\right)\)

=> đpcm

Okay vậy là sửa đề thành \(x+y+z=0\) nhé.

Thử nhiều lần kết luận là bài toán có thể chứng minh chặt hơn nữa là \(\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq 6\)

Giải như sau:

Do có \(3\) số nên theo định lý Dirichlet tồn tại hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là \(x,y\) thì \(xy\geq 0\)

Dựa vào điều kiện đề bài ta dễ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) , nên

\(P=\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}=\frac{8(x^2+y^2+xy)^3}{9x^2y^2(x+y)^2}\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a\\ xy=b\end{matrix}\right.\Rightarrow P=\frac{8(a+b)^3}{9b^2(a+2b)}\) .

Ta CM \(P\geq 6\Leftrightarrow 4a^3+12a^2b\geq 15ab^2+50b^3\) \((1)\)

Vì \(x^2+y^2\geq 2xy\rightarrow a\geq 2b\geq 0\). Vì vậy:

\(\left\{\begin{matrix} 4a^3+12a^2b=4a.a^2+12ab.a\geq 16ab^2+24ab^2=40ab^2\\ 15ab^2+50b^3\leq 15ab^2+25ab^2=40ab^2\end{matrix}\right.\)

Do đó \((1)\) đúng, ta có đpcm.

Bài toán sai ngay với $x=y=z=\frac{1}{3}$

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2

=>2(xy+yz+xz)=0

=>xy+xz+yz=0

=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0

=>1/x+1/y+1/z=0

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=0\)

=>\(\dfrac{yz+2xz+3xy}{xyz}=0\)

=>yz+2xz+3xy=0

=>\(xy+\dfrac{2}{3}xz+\dfrac{1}{3}yz=0\)

\(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1\)

=>\(\left(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}\right)^2=1\)

=>\(x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{9}+2\left(x\cdot\dfrac{y}{2}+x\cdot\dfrac{z}{3}+\dfrac{y}{2}\cdot\dfrac{z}{3}\right)=1\)

=>\(A+2\left(\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xz}{3}+\dfrac{yz}{6}\right)=1\)

=>A+xy+2/3xz+1/3yz=1

=>A=1