a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Xảy ra khi \(a=b\)

b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

c)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

==" s t nhớ là bất đẳng thức cosi dùng cho số dương nhỉ ?

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>\(a^2+b^2\ge2ab\)

b) Ta có\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(1)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)(2)

\(\left(a-c\right)^2\ge0\)(3)

Cộng vế với vế ba đẳng thức (1),(2),(3) ta đc

\(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac\ge0\)

<=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

<=>\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

a, \(a^2+b^2\ge2ab\)

    \(b^2+c^2\ge2bc\)

    \(c^2+a^2\ge ca\)

Cộng các vế => đpcm

b, Áp dung bdt a, ta có thể cm đc \(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)

Thay x,y,z lần lượt bởi ab;bc;ca => ĐPCM

1/ \(a^2-b^2+c^2\ge\left(a-b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow bc-ac-b^2+ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bc-ac\right)+\left(ab-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)(đúng)

Vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\\b\ge c\end{cases}}\)

2/ \(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow-d^2+cd-bd+ad+bc-ac-b^2+ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(dc-d^2\right)+\left(ad-bd\right)+\left(bc-ac\right)+\left(ba-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow d\left(c-d\right)+d\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Đúng vì \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)