Ta có :

\(\begin{array}{l}\tan \left( {a + b} \right) = 3\\ \Rightarrow \frac{{tana + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 3\\ \Rightarrow tana + \tan b = 3(1 - \tan a.\tan b)\,\,\,\,\,\,(1)\\\tan \left( {a - b} \right) =  - 3\\ \Rightarrow \frac{{tana - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}} = 3\\ \Rightarrow tana - \tan b = 3(1 + \tan a.\tan b)\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có

\(\tan a = 3\)

Ta có

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.3}}{{1 - {3^2}}} = \frac{{ - 3}}{4}\)

Chọn D

\(tan2A=tan\left[\left(A+B\right)+\left(A-B\right)\right]=\frac{tan\left(A+B\right)+tan\left(A-B\right)}{1-tan\left(A+B\right).tan\left(A-B\right)}=\frac{5+3}{1-5.3}=-\frac{4}{7}\)

\(A+B+A-B=2A\) có gì lạ đâu bạn?

a/ \(\frac{A}{2}+\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=90^0\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\)

b/ \(\frac{tan^2A-tan^2B}{1-tan^2A.tan^2B}=\frac{\left(tanA-tanB\right)}{\left(1+tanA.tanB\right)}.\frac{\left(tanA+tanB\right)}{\left(1-tanA.tanB\right)}=tan\left(A-B\right).tan\left(A+B\right)\)

\(=tan\left(A-B\right).tan\left(180^0-C\right)=-tan\left(A-B\right).tanC\)

c/

\(A+B+C=180^0\Rightarrow cot\left(A+B\right)=-cotC\)

\(\Leftrightarrow\frac{cotA.cotB-1}{cotA+cotB}=-cotC\)

\(\Leftrightarrow cotA.cotB-1=-cotA.cotC-cotB.cotC\)

\(\Leftrightarrow cotA.cotB+cotB.cotC+cotA.cotC=1\)

Tại sao lại suy đc Tại sao lại suy đc c

Câu a)

Ta sử dụng 2 công thức:

\(\bullet \tan (180-\alpha)=-\tan \alpha\)

\(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)

Áp dụng vào bài toán:

\(\text{VT}=\tan A+\tan B+\tan C=\tan A+\tan B+\tan (180-A-B)\)

\(=\tan A+\tan B-\tan (A+B)=\tan A+\tan B-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}\)

\(=(\tan A+\tan B)\left(1+\frac{1}{1-\tan A.\tan B}\right)=(\tan A+\tan B).\frac{-\tan A.\tan B}{1-\tan A.\tan B}\)

\(=-\tan A.\tan B.\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}=-\tan A.\tan B.\tan (A+B)\)

\(=\tan A.\tan B.\tan (180-A-B)\)

\(=\tan A.\tan B.\tan C=\text{VP}\)

Do đó ta có đpcm

Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nên \(\tan A, \tan B, \tan C>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(P=\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt[3]{\tan A.\tan B.\tan C}\)

\(\Leftrightarrow P=\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt[3]{\tan A+\tan B+\tan C}\)

\(\Rightarrow P\geq 3\sqrt[3]{P}\)

\(\Rightarrow P^3\geq 27P\Leftrightarrow P(P^2-27)\geq 0\)

\(\Rightarrow P^2-27\geq 0\Rightarrow P\geq 3\sqrt{3}\)

Vậy \(P_{\min}=3\sqrt{3}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\angle A=\angle B=\angle C=60^0\)

Câu b)

Ta sử dụng 2 công thức chính:

\(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)

\(\bullet \tan (90-\alpha)=\frac{1}{\tan \alpha}\)

Áp dụng vào bài toán:

\(\text{VT}=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}\)

\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)

\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan (90-\frac{A+B}{2})(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)

\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\tan (\frac{A+B}{2})}\)

\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}}\)

\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1=\text{VP}\)

Ta có đpcm.

Cũng giống phần a, ta biết do ABC là tam giác nhọn nên

\(\tan A, \tan B, \tan C>0\)

Đặt \(\tan A=x, \tan B=y, \tan C=z\). Ta có: \(xy+yz+xz=1\)

Và \(T=x+y+z\)

\(\Rightarrow T^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy:

\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow T^2\geq 3(xy+yz+xz)=3\)

\(\Rightarrow T\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow T_{\min}=\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \angle A=\angle B=\angle C=60^0\)

phần chứng minh biểu thức không phụ thuộc \(x\)

ta có : \(A=\dfrac{cot^2a-cos^2a}{cot^2a}+\dfrac{sinacosa}{cota}=\dfrac{cot^2a-cos^2a}{cot^2a}+\dfrac{cos^2a}{cot^2a}\)

\(=\dfrac{cot^2a-cos^2a+cos^2a}{cot^2a}=\dfrac{cot^2a}{cot^2a}=1\left(đpcm\right)\)

ý còn lại : xem lại đề nha bn

phần chứng minh đẳng thức

ta có : \(\dfrac{sin2a-2sina}{sin2a+2sina}+tan^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{2sinacosa-2sina}{2sinacosa+2sina}+tan^2\dfrac{a}{2}\)

\(=\dfrac{2sina\left(cosa-1\right)}{2sina\left(cosa+1\right)}+tan^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{cosa-1}{cosa+1}+tan^2\dfrac{a}{2}\)

\(=\dfrac{1-2sin^2\dfrac{a}{2}-1}{2cos^2\dfrac{a}{2}-1+1}+tan^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{-2sin^2\dfrac{a}{2}}{2cos^2\dfrac{a}{2}}+tan^2\dfrac{a}{2}\)

\(=-tan^2\dfrac{a}{2}+tan^2\dfrac{a}{2}=0\left(đpcm\right)\)

ta có : \(\dfrac{sina}{1+cosa}+\dfrac{1+cosa}{sina}=\dfrac{sin^2a+\left(1+cosa\right)^2}{sina\left(1+cosa\right)}\)

\(=\dfrac{sin^2a+cos^2a+2cosa+1}{sina\left(1+cosa\right)}=\dfrac{2cosa+2}{sina\left(cosa+1\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(cosa+1\right)}{sina\left(cosa+1\right)}=\dfrac{2}{sina}\left(đpcm\right)\)

còn 2 câu kia để chừng nào rảnh mk giải cho nha

mk lm 2 câu còn lại nha

ta có : \(\dfrac{sin^2x}{sinx-cosx}-\dfrac{sinx+cosx}{tan^2x-1}=\dfrac{\left(1-cos^2x\right)\left(tan^2x-1\right)-\left(sin^2x-cos^2x\right)}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}\)

\(=\dfrac{tan^2x-sin^2x-sin^2x-sin^2x+cos^2x}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}=\dfrac{\dfrac{sin^4x}{cos^2x}-sin^2x-sin^2x+cos^2x}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{tan^2x\left(sin^2x-cos^2x\right)-\left(sin^2x-cos^2x\right)}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}=\dfrac{\left(tan^2x-1\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}\)

\(=sinx+cosx\left(đpcm\right)\)

ta có : \(\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)}{1-tan^2a.cot^2b}=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)}{1-\dfrac{sin^2a.cos^2b}{cos^2a.sin^2b}}\)

\(=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)}{\dfrac{cos^2a.sin^2b-sin^2a.cos^2b}{cos^2a.sin^2b}}=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right).cos^2a.sin^2b}{-\left(sin^2a.cos^2b-cos^2a.sin^2b\right)}\)

\(=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right).cos^2a.sin^2b}{-\left(\left(sina.cosb-cosa.sinb\right)\left(sina.cosb+cosa.sinb\right)\right)}\)

\(=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right).cos^2a.sin^2b}{-sin\left(a-b\right)sin\left(a+b\right)}=-cos^2a.sin^2b\left(đpcm\right)\)

mk lm hơi tắc ! do tối rồi , mà mk lại đang ở quán nek nên không tiện làm dài . bạn thông cảm