\(h=3cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)+12\le3.1+12=15\left(m\right)\) 

" = " \(\Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}=2k\pi\left(k\in Z\right)\)  \(\Leftrightarrow\dfrac{t}{6}+\dfrac{1}{3}=2k\Leftrightarrow t=12k-2\)

t min ; t > 0 \(\Rightarrow k=1\) thì t = 10 (h)

+) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}15 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {2\pi  - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {4\pi  - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

+) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}9 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \pi \\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi  + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi  + \pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi  + \pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 1\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = \frac{{6\left( {3\pi  - 1} \right)}}{\pi }\)

+) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}10,5 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\\t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 \le k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{8\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{14\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

Với \(t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{4\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{10\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

Lời giải:

$\sin (\frac{\pi t}{18}-\frac{\pi}{6})\leq 1$ với mọi $t\in [0;24]$

$\Rightarrow h\leq 2.1+5=7$ 

Vậy $h_{\max}=7\Leftrightarrow \sin (\frac{\pi t}{18}-\frac{\pi}{6})=1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi t}{18}-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ với $k$ nguyên 

$\Leftrightarrow \frac{t}{18}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+2k$ với $k$ nguyên 

$\Leftrightarrow t=12+36k$ với $k$ nguyên.

Do $t\in [0;24]$ nên $t=12$ 

Đáp án C.

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=12

Khi đó

\(\begin{array}{l}12 = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = \sin 0\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow t = 80 + 182k;k \in Z\end{array}\)

Mà \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) nên

 \(\begin{array}{l}0 < 80 + 182k \le 365\\ \Rightarrow 0 \le k \le 1,56\end{array}\)

Suy ra \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Khi đó \(t \in \left\{ {80;262} \right\}\)

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và 262 trong năm

b) Thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=9

Khi đó

\(\begin{array}{l}9 = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] =  - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t =  - 11 + 364k;k \in Z\end{array}\)

Mà \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) nên

 \(\begin{array}{l}0 <  - 11 + 364k \le 365\\ \Rightarrow 0 < k \le 1,03\end{array}\)

Suy ra \(k= 1\)

Khi đó \(t= - 11 + 364.1 = 353\)

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm

c) Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=15

Khi đó

\(\begin{array}{l}15 = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 171 + 364k;k \in Z\end{array}\)

Mà \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) nên

 \(\begin{array}{l}0 < 171 + 364k \le 365\\ \Rightarrow 0 \le k \le 0,53\end{array}\)

Suy ra \(k=0\)

Khi đó \(t= 171 + 364.0 = 171\)

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm

a) Hàm số \(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + 8t\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) do đó hàm số \(h\left( t \right)\) liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đến 2 thì h(t) dần đến 8.

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \left( { - 2{t^2} + 8t} \right) = 8\)

Ta có: \(s\in\left[-1;1\right]\Leftrightarrow-1\le2cos\left(\pi t\right)\le1\\ \Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le cos\left(\pi t\right)\le\dfrac{1}{2}\)

Trong 1s đầu tiên \(0< t< 1\Rightarrow0< \pi t< \pi\)

Ta có đồ thị hàm số \(y=cos\left(x\right)\) trên \(\left[0;\pi\right]\)

Dựa vào đồ thị, ta thấy 

\(-\dfrac{1}{2}\le cos\left(\pi t\right)\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}\le\pi t\le\dfrac{2\pi}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le t\le\dfrac{2}{3}\)

Vậy \(t\in\left[\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right]\)

Với \(v = 4 \Rightarrow s = 4t\). Khi đó \(s\) là hàm số bậc nhất theo biến \(t\).

Với \(t = 1 \Rightarrow s = 4.1 = 4 \Rightarrow \) đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\).

Đồ thị hàm số \(s = 4t\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {1;4} \right)\).