\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{2a}{2}=a\Rightarrow xy\le a^2\)

Ta có : \(A=\frac{x+y}{xy}\ge\frac{2a}{a^2}=\frac{a}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = a

vậy ....

\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

3, \(P=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}\)

=\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\)

AD bđt cosi vs hai số dương có:

\(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{a}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{2}{b}}=2\)

Có \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{3}{2}\) (vì a+b \(\ge3\))

=> \(P=\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge1+2+\frac{3}{2}\)

<=> P \(\ge4.5\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}\\\frac{b}{2}=\frac{2}{b}\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=4\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

=> a=2,b=3

Vậy minP=4.5 <=>a=1,b=2

a ) \(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\)

Ta có : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{4}{2xy+x^2+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)

\(\Rightarrow P\ge2+4=6\) Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

b ) Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x;y;z>0\) ta được :

\(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{1}{2b+a}=\frac{1}{b+b+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)

Cộng vế với vế ta được :

 \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}\right)\)

\(=\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\) hay \(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Câu hỏi của Nguyễn Phan Ngọc Tú - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

tham khỏa nè:

Câu hỏi của Nguyễn Phan Ngọc Tú - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

coppy của thắng 

Ta có:

\(P=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\)

\(=\frac{a^2\left(x+y\right)}{x}+\frac{b^2\left(x+y\right)}{y}\)

\(=a^2+\frac{a^2y}{x}+b^2+\frac{b^2x}{y}\)

\(=a^2+b^2+\left(\frac{a^2y}{x}+\frac{b^2x}{y}\right)\)

Do \(\frac{a^2y}{x},\frac{b^2x}{y}\)có tích không đổi nên tổng chúng nhỏ nhất.

\(\Leftrightarrow\frac{a^2y}{x}=\frac{b^2x}{y}\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2=b^2x^2\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{b}{a+b}\)

Vậy \(P_{MIN}=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow x=\frac{a}{a+b},y=\frac{b}{a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(R=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

=> x=...

     y=...

KL:.....................

Forever Miss You ở đâu có cái tích ko đổi thì tổngnhỏ nhất hay thế?

Gửi link cho a đi~~

Theo BĐT Cô - si: 

\(\sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\le\left(\frac{y+z}{x}+1\right):2=\frac{x+y+z}{2x}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\).  Bạn làm tương tự và cộng từng vế sau đó CM không xảy ra dấu bằng