\(a+b+c=1\) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)

\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)'

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)

 Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b=0\), các trường hợp còn lại làm tương tự.

 Khi đó từ \(a+b+c=1\) suy ra \(c=1\) (thỏa mãn). Thế thì \(T=0^{2023}+0^{2023}+1^{2023}=1\). 

 Như vậy \(T=1\)

Do \(0\le a,b,c\le1\)

nên\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\\left(b^2-1\right)\left(c-1\right)\ge0\\\left(c^2-1\right)\left(a-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b-b-a^2+1\ge0\\b^2c-c-b^2+1\ge0\\c^2a-a-c^2+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b\ge a^2+b-1\\b^2c\ge b^2+c-1\\c^2a\ge c^2+a-1\end{matrix}\right.\)

Ta cũng có:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)

Do đó \(T=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)\(-\left(a^2+b-1+b^2+c-1+c^2+a-1\right)\)

\(=3\)

Vậy GTLN của T=3, đạt được chẳng hạn khi \(a=1;b=0;c=1\)

giúp mình câu hỏi này với ah.

Đáp án C

Nhận xét, với x  ∈ [1;2] thì f(x) = x - log₂x  ≤ 0. Thật vậy, xét  f ' ( x )   =   x ln 2   -   1 x ln 2

Từ đây suy ra

Mặt khác cũng có

với [1;2]

Đáp án C

Nhận xét, với x ∈ 1 ; 2  thì f x = x − log 2 x ≤ 0 . Thật vậy, xét  f ' x = x ln 2 − 1 x ln 2

→ f ' x = 0 ⇔ x = 1 ln 2 ⇒ max 1 ; 2 f x = max f 1 , f 1 ln 2 , f 2 = 0

Từ đây suy ra x − 1 ≤ log 2 x ⇒ log 2 3 x ≥ x − 1 3  với  1 ; 2 ⇒ 1 ≥ a − 1 3 + b − 1 3 + c − 1 3

Mặt khác cũng có x 3 − 3 x log 2 x ≤ x 3 − 3 x 1 − x = x 3 − 3 x 2 + 3 x  với  1 ; 2

⇒ P − 3 ≤ x − 1 3 + y − 1 3 + z − 1 3 = 1 ⇒ P ≤ 4

\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)

Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)

(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)

Bạn có thể giải thích phần (1) <=> với cái đó được ko. Mình vẫn chưa hiểu mấy bước sau lắm

Bài 1: 

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$

$\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-[3ab(a+b)+3abc]=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$

$\Rightarrow a+b+c=0$ hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

Xét TH $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Vậy $a^3+b^3+c^3=3abc$ khi $a+b+c=0$ hoặc $a=b=c$

Áp dụng vào bài:

Nếu $a+b+c=0$

$A=\frac{-c}{c}+\frac{-b}{b}+\frac{-a}{a}=-1+(-1)+(-1)=-3$

Nếu $a=b=c$

$P=\frac{a+a}{a}+\frac{b+b}{b}+\frac{c+c}{c}=2+2+2=6$

a^3+b^3+c^3=3abc

=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3bac=0

=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0

=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0

=>(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2=0

=>a=b=c

=>A=(1+b/b)(1+b/b)(1+c/c)

=2*2*2=8

A=1

chuẩn