\(11...1+2n=11...1+3n-n=11..1-n+3n\)

tổng các chữ số của \(11....1\)(n chữ số 1) là n

\(=>11..1-n+3n=0+3n=3n⋮3\)

Vậy .....

các bn có thể giải cụ thể hơn đc ko

 Ta tách 2n + 111...1 = 3n + (111..1 - n)

                       n chữ số          n chữ số

Vì 1 số và tổng các chữ của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 nên 111...1(n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 nên  111...1 - n chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3 => Vế phải chia hết cho 3. Vậy thì vế trái cũng chia hết cho 3 hay 2n + 111...1 chia hết cho 3

Chứng minh rằng 2n + 111....11 ( n chữ số 1 ) chia hết cho 3 ( n là số tự nhiên ) 

*Với n=3k , ta có :

\(2n+111...11=2.3k+111...11⋮3\) (1)

*Với n = 3k +1 , ta có : 

\(2n+111...11=2.3k+1+111...11\)

                              \(=2.3k+111...12⋮3\) (2)

Từ (1) và (2) => \(2n+111...11⋮3\)

n thuộc N nữa nha!

Đặt 11...1(n chữ số 1)=a

Thì 9a+1=10ⁿ

\(\Rightarrow M=...\)

          \(=a.\left(9a+1\right)+a+4a+1\)

           \(=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)

a) 2n + 111...1 = 3n + (111..1 - n)

         n chữ số          n chữ số

Vì 1 số và tổng các chữ của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3 => 2n + 111...1 chia hết  n chữ số

Ko bít

Đặt \(\overline{111......1}=a\left(n-chu-so-1\right)\) Khi đó \(10^n=9a+1\)

\(D=\overline{1111.....1}-\overline{8888.....8}+1\)

\(=a\cdot10^n+8a+1=a\left(9a+1\right)+a-8a+1=9a^2-6a+1\)

\(=\left(3a-1\right)^2=\left(33333.....33\right)^2\left(n-chu-so-3\right)\)

Vậy ta có đpcm

A = 111...1000...0 + 111...1 - 222...2

     (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)  (n cs 2)

\(A=111...1\cdot10^n+111...1-222...2\)

        (n cs 1)                       ( n cs 1 )      ( n cs 2 )

Đặt   K = 111...1  ( n cs 1 )   => 9K + 1 = 10^n

=> A = K( 9k + 1 ) + K - 2K

        = 9K^2 + K + K - 2K

        = 9K^2   = (3K)^2     

=> A là một số chính phương

B = 111...1000...0 + 111...1 +  444...4 + 1

    (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)    (n cs 4)

\(\Rightarrow B=111...1\cdot10^n+111...1+444...4+1\)

                ( n cs 1 )                 ( n cs 1 )         ( n cs 4 )

Đặt   K = 111...1   ( n cs 1 )         => 9K + 1 = 10^n

=> B = K( 9K + 1 ) + K + 4K + 1

         = 9K^2 + 6K + 1

         = ( 3K + 1 ) ^2

=> B là một số chính phương