a) Ta có : Tam giác ABC vuông ở B

=> AB² + BC² = AC²

=> 3² + 4² = AC²

=> AC² = 25

=> AC = 5 (cm)

Vì BI là tia phân giác góc B

=> \(\frac{AI}{IC}=\frac{AB}{BC}\)

=> \(\frac{AI+IC}{IC}=\frac{AB+BC}{BC}\)

=> \(\frac{AC}{IC}=\frac{AB+BC}{BC}\)

=> \(IC=\frac{AC.BC}{AB+BC}=\frac{5.4}{3+4}=\frac{20}{7}\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBC có

 \(\hept{\begin{cases}\widehat{ACB}\text{ chung }\\\widehat{CHB}=\widehat{CBA}=90^{\text{o}}\end{cases}}\)

=> \(\Delta BAC\approx\Delta HBC\left(g-g\right)\)(1)

c) Xét tam giác CBK  và tam giác CDB có : 

\(\hept{\begin{cases}\text{\widehat{D} Chung }\\\widehat{BKD}=\widehat{CBD}\left(=90^{\text{o}}\right)\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}\widehat{C}\text{ chung }\\\widehat{CBD}=\widehat{BKC}\left(=90^{\text{o}}\right)\end{cases}}\)

=> \(\Delta CBK\approx\Delta CDB\left(g-g\right)\)

=> \(\frac{BC}{CD}=\frac{BK}{BD}=\frac{CK}{BC}\)

=> \(\frac{BC}{CD}=\frac{CK}{BC}\Rightarrow BC^2=CK.CD\)

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC có

góc H = góc A (=90 độ)

góc ABC chung

suy ra tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

b) Áp dụng định lyd Pi ta go vào tam giác vuông ABC có

BC^2= AB^2+AC^2

BC^2=12^2+16^2

BC^2 = 400

BC=căn 400 = 20 cm

+ Ta có tam HBA đồng dạng vs tam giác ABC (cmt)

suy ra HA/AC=BA/BC(t/c 2 tam giác đồng dạng)

suy ra HA/16=12/20

SUY RA HA=(16*12)/20 =9,6cm

c) ta có DE là tia phân giac

suy ra AE/EB=AD/BD 1

VÌ DF là tia p/g

suy ra FC/FADC/AD 2

TỪ 1,2 suy ra EA/EB *DB/DC*EC/FA

suy ra EA/EB*DB/DC*FC/FA =1(đfcm)

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(BC^2=10^2-6^2=64\)

=>\(BC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

=>\(\dfrac{BD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

=>\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà BD+CD=BC=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{BD+CD}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>\(BD=3\cdot1=3\left(cm\right);CD=5\cdot1=5\left(cm\right)\)

a)Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta HBA\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\)(=\(90^0\))

\(\widehat{B}\)chung

=>\(\Delta ABC\)~\(\Delta HBA\)(g.g)

=>\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

=>\(AB^2=HB.BC\)

a: \(BC=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot9}{3\sqrt{13}}=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔEBF vuông tạiE và ΔEDC vuông tại E có

\(\widehat{EBF}=\widehat{EDC}\)

Do đó: ΔEBF\(\sim\)ΔEDC

d: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

Suy ra: BA=BE và DA=DE

Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có

DA=DE

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)

DO đó: ΔADF=ΔEDC

Suy ra: AF=EC

=>BF=BC

=>ΔBFC cân tại B

mà BD là đường phân giác

nên BD la đường cao

a: BC=10cm

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên AD/AB=CD/BC

=>AD/3=CD/5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

Do đó: AD=3cm; CD=5cm

b: Xét ΔABC vuong tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

c: Xét ΔABI và ΔCBD có 

\(\widehat{ABI}=\widehat{CBD}\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{BCD}\)

Do đó: ΔABI\(\sim\)ΔCBD