Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}

Mk cx chiu

tương tự câu này bạn ơi bạn đọc và làm bài của mình nhé

 S=1+2+2²+....+2²⁰¹²

          A.2    =2+2²+2³+.........+2²⁰¹³

          A.2-A=2²⁰¹³-1

            A=2²⁰¹³-1

Ta thấy: 2²⁰¹³-1 < 2²⁰¹³

S=\(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{2010.2011.2012}\)

  =\(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2010.2011}-\frac{1}{2011.2012}\)

  =\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2011.2012}< \frac{1}{2}\)(Vì \(\frac{1}{2011.2012}>0\))

=> S <\(\frac{1}{2}\)

\(S=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+....+\frac{2}{2010.2011.2012}\)

\(S=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+\frac{5-3}{3.4.5}+...+\frac{2012-2010}{2010.2011.2012}\)

\(S=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2010.2011}-\frac{1}{2011.2012}\)

\(S=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2011.2012}=\frac{2023065}{4046132}\)

\(\text{Vì}\)\(\frac{2023065}{4046132}< \frac{1}{2}\Rightarrow S< P\)

\(Q=\frac{2010+2011+2012}{2011+2012+2013}\)

\(Q=\frac{2010}{2011+2012+2013}+\frac{2011}{2011+2012+2013}+\frac{2012}{2011+2012+2013}\)

Ta có :

\(\hept{\begin{cases}\frac{2010}{2011}>\frac{2010}{2011+2012+2013}\\\frac{2011}{2012}>\frac{2011}{2011+2012+2013}\\\frac{2012}{2013}>\frac{2012}{2011+2012+2013}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P>Q\)

A<1/2

Xét biểu thức A 

A= 1+(1+2) +....... +(1+2+3+...+2012)

A = 1+1+2+1+2+3+...+1+2+3+...+2012

 A có 2012  số 1

      có 2011  số 2

         ...

        có 1 số 2012

A = 1 x2012 +2x2011+...+2012x1

 mà B = 1 x2012 +2x2011+...+2012x1

nên A=B

\(A=1+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)+...+\left(1+2+3+...+2012\right)\)

\(=\left(1+1+1+...+1\right)+\left(2+2+...+2\right)+...+2012\)

\(=1\times2012+2\times2011+...+2012\times1\)

\(=B\)