Chọn đáp án C

Do S. ABCD đều, có trọng tâm G của tam giác SAC cũng là trọng tâm của SBD.

Nên M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD.

Do đó

Gọi K là trung điểm của AB, O = AC ∩ BD  do S. ABCD đều nên SO  ⊥ (ABCD)  

ABCD là hình vuông nên có SKO = 60 0  

Xét tam giác SKO vuông tại O có KO = a 2  và SKO = 60 0   suy ra:

Chọn C.

Phương pháp : Sử dụng tỉ số thể tích.

Chọn C

a/

Ta có

\(S\in\left(SAC\right);S\in\left(SBD\right)\)

Trong mp (ABCD) gọi O là giao của AC và BD

\(O\in AC\Rightarrow O\in\left(SAC\right);O\in BD\Rightarrow O\in\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow SO\in\left(SAC\right)\) và \(SO\in\left(SBD\right)\) => SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b/

Trong mp (ABCD) Từ G dựng đường thẳng // AC cắt BC tại K

Xét tg SAC có

SM=AM (gt); SN=CN (gt) => MN là đường trung bình của tg SAC

=> MN//AC

Mà GM//AC

=> MN//GK mà \(G\in\left(GMN\right)\Rightarrow GK\in\left(GMN\right)\) (Từ 1 điểm trong mặt phẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và // với 1 đường thẳng cho trươc thuộc mặt phẳng)

\(\Rightarrow K\in\left(GMN\right);K\in BC\) => K llaf giao của BC với (GMN)

c/

Ta có

\(KN\in\left(GMN\right);KN\in\left(SBC\right)\) => KN là giao tuyến của (GMN) với (SBC)

Trong (ABCD) KG cắt AB tại H

\(KG\in\left(GMN\right)\Rightarrow KH\in\left(GMN\right)\)

\(KG\in\left(ABCD\right)\Rightarrow KH\in\left(ABCD\right)\)

=> KH là giao tuyến của (GMN) với (ABCD)

Ta có 

\(HM\in\left(SAB\right);HM\in\left(GMN\right)\) => HM là giao tuyến của (GMN) với (SAB)

Trong mp(SAC) gọi P là giao của SO với MN

\(P\in MN\Rightarrow P\in\left(GMN\right)\)

Trong mp(SBD) Nối G với P cắt SD tại Q

\(\Rightarrow GP\in\left(GMN\right)\Rightarrow Q\in GMN\)

\(\Rightarrow MQ\in\left(GMN\right)\) mà \(MQ\in\left(SAD\right)\) => MQ là giao tuyến của (GMN) với (SAD)

Ta có

\(NQ\in\left(GMN\right);NQ\in\left(SCD\right)\) => NQ là giao tuyến của (GMN) với (SCD)

=> thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (GMN) là đa giác HMQNK

\(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\) cùng vuông góc (ABCD) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=a\sqrt{3}\)

Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow GS=\dfrac{2}{3}MS\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(M;\left(SBD\right)\right)\)

Gọi I là giao điểm AM và BD \(\Rightarrow\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SBD\right)\right)\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Kẻ AH vuông góc SO (O là tâm đáy) \(\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{21}\)

a) Xét tam giác HAC ta có: GH = 2GA, HK = 2KC suy ra GK // AC hay GK // (ABCD).

b) (MNEF) // (ABCD) do đó MN // AB, NE // BC, EF // CD, MF // AD

Lại có AB // CD, AD // BC suy ra MN // EF, MF // NE.

Suy ra, tứ giác MNEF là hình bình hành.

Chọn D

Gọi N là trung điểm của CD, khi đó MG, BN, AD đồng quy tại E.

Do AB = 2ND nên ND là đường trung bình của tam giác EAB ⇒  D là trung điểm của AE