Giả sử \(x\ge y\ge z\ge t\)

Có 5(x+y+z+t) = 2xyzt

<=> \(2=\dfrac{5}{yzt}+\dfrac{5}{xyz}+\dfrac{5}{xyt}+\dfrac{5}{xzt}+\dfrac{10}{xyzt}\le\dfrac{20}{t^3}+\dfrac{10}{t^4}\le\dfrac{30}{t^3}\)

<=> t³ \(\le15\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

TH1: t = 1

<=> \(2=\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{xyz}+\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{xz}+\dfrac{10}{xyz}=\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{zx}+\dfrac{15}{xyz}\)

\(\le\dfrac{15}{z^2}+\dfrac{15}{z^3}\le\dfrac{30}{z^2}\)

<=> z² \(\le15\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

- Với z = 1

PT <=> 5 (x+y+2) + 10 = 2xy

<=> (2x-5)(2y-5) = 65

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=35\\y=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y;z;t) = (35;3;1;1) hoặc (9;5;1;1) và có hoán vị

- Với z = 2;3 => Vô nghiệm

TH2: t = 2

PT <=> 5(x+y+z) + 20 = 4xyz

<=> \(4=\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{zx}+\dfrac{20}{xyz}\le\dfrac{35}{z^2}\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}z=1\left(l\right)\\z=2\left(c\right)\end{matrix}\right.\)

<=> 5(x+y+4) + 10 = 8xy

<=> (8x-5)(8y-5) = 265

=> Vô nghiệm

KL: Vậy (x;y;z;t) = (35;3;1;1) hoặc (9;5;1;1) và có hoán vị

câu b giả sử x>_y>_z>_t>_1      (>_ lớn hơn hoặc =)

khi do 2xyzt=5(x+y+z+t)+10 _< 20x+10

=>xyzt _<10x+5 _<15x=>yzt_<15=>t^3_<15=>t_<2(vi t la nguyen duong)

voi t=1  ta co 2xyz=5(x+y+z)+15=>2yz _<30=>z_<3

 roi tiep tuc thu cac truong hop can lai 

voi t=2 lam tuong tu 

phần b của bạn hình như đề bài sai nếu là +0 thì có ý nghĩa j phải là +10 chứ

tham khảo :Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5(x+y+z+t)+10=2xyzt
vì vai trò x,y,z,t như nhau nên \(x\ge y\ge z\ge t\)

 khi đó 2xyzt=5(x+y+z+t)+10\(\le\)20x+10

⇒yzt\(\le\)15⇒t3\(\le\)15⇒t\(\le\)2Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 ⇒2yz\(\le\)30⇒2z2\(\le\)30⇒z\(\le\)3Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 .

Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).

Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t=2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x;y;z;t)=(35;3;1;1);(9;5;1;1) và các hoán vị của các bộ số này.


 

cãi nhau à>

Bạn tham khảo nhé!

Nguồn: 9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

cám ơn nhé