Từ giả thiết suy ra

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\left(y-1\right)\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)-3\)    (1)

Lại có  \(3x^2+4y^2+5z^2=52\)    

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)=52+2x^2+y^2\ge52+2.1+1=55\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge11\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có  \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\ge11+4\left(x+y+z\right)-6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y+z\right)-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2-4P-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P+1\right)\left(P-5\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge5\)

Vậy  \(P_{min}=5\)  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=3\end{cases}}\)

phải là tìm max chứ

Ta có x² - 2x + 5

= (x² - 2x + 4) + 1 

= (x - 2)² + 1 \(\ge\)1 > 0 (đpcm)

b) Ta có : 4x² + 4x - 3 = (4x² + 4x + 1) - 4 = (2x + 1)² - 4 \(\ge\) - 4 (đpcm)

+) Ta có: \(x^2-2x+5=\left(x^2-2x+1\right)+4\)

                                         \(=\left(x-1\right)^2+4\)

    Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\)\(\left(x-1\right)^2+4\ge4>0\forall x\)

 Vậy \(x^2-2x+5>0\)

1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A

\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)

\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)

Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:

\(A\le1\left(đpcm\right)\)

Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)

Lời giải:

Đặt \((x,y,z)=(a+1,b+1,c+1)\Rightarrow a,b,c\geq 0\)

Ta có:

\(3x^2+4y^2+5z^2=52\Leftrightarrow 3(a+1)^2+4(b+1)^2+5(c+1)^2=52\)

\(\Leftrightarrow 3a^2+4b^2+5c^2+6a+8b+10c=40\)

\(\Leftrightarrow 5(a+b+c)^2+10(a+b+c)=40+2a^2+b^2+10(ab+bc+ac)+4a+2b\)

\(\Rightarrow 5(a+b+c)^2+10(a+b+c)\geq 40\Leftrightarrow a+b+c\geq 2\)

Do đó \(x+y+z=a+b+c+3\geq 5\)

Vậy \(F_{\min}=5\Leftrightarrow x=y=1,z=3\)

tháo ngoặc thu gọn đưa về 1 vế biến thành HĐT xong ,áp dụng thì bình phương lên là ra dạng

cố nhìn đi

đây là lớp mấy?