Sửa đề: Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, cắt GF tại I

a: Xét tứ giác AEGF có

\(\widehat{AEG}=\widehat{AFG}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEGF là hình chữ nhật

b: AEGF là hình chữ nhật

=>GF//AE và GF=AE

Ta có: GF//AE

I\(\in\)FG

Do đó: FI//AE

Ta có: FI//AE

E\(\in\)AB

Do đó: FI//EB

Xét tứ giác FIEB có

FI//EB

FB//EI

Do đó: FIEB là hình bình hành

c: Xét ΔABC có

G là trung điểm của BC

GE//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

=>EA=EB(1)

Xét ΔABC có

G là trung điểm của BC

GF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

AEGF là hình chữ nhật

=>AE=GF(2)

FIEB là hình bình hành

=>FI=EB(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra FI=FG

=>F là trung điểm của GI

Xét tứ giác AGCI có

F là trung điểm chung của AC và GI

nên AGCI là hình bình hành

Hình bình hành AGCI có AC\(\perp\)GI

nên AGCI là hình thoi

a/

Ta có

FA=FC; GB=GC => GF là đường trung bình của tg ABC

=> GF//AB Mà \(AB\perp AC\)

\(\Rightarrow GF\perp AC\)

=> AEGF là hình thang vuông tại A và F

b/

EI//BF (gt)

GF//AB => FI//BE

=> BEIF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Ta có GF là đường trung bình của tg ABC \(\Rightarrow GF=\dfrac{1}{2}AB\)

 BEIF là hbh (cmt) =>FI=EB

Mà \(EA=EB=\dfrac{1}{2}AB\)

=> GF=FI

Ta có

FA=FC

=> AGCI là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà \(GF\perp AC\Rightarrow GI\perp AC\)

=> AGCI là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

d/

Để AGCI là hình vuông \(\Rightarrow AG\perp BC\) => AG là đường cao của tg ABC

Mà GB=GC => AG là đường trung tuyến của tg ABC

=> tg ABC là tg cân tại A (Tam giác có đường cao và đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

Mà \(\widehat{A}=90^o\) (gt)

=> Đk để AGCI là hình vuông thì tg ABC phải là tg vuông cân tại A

a: Xét ΔABC có

G là trung điểm của BC

F là trung điểm của AC
DO đó: FG là đường trung bình

=>FG//AE và FG=AE

=>AEGF là hình bình hành

mà \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEGF là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác BEIF có

IF//BE

EI//BF

Do đó: BEIF là hình bình hành

c: Ta có: EIFB là hình bình hành

nên FI//EB và FI=EB

=>FI=1/2IG

=>F là trung điểm của IG

Xét tứ giác CIAG có

F là trung điểm của AC

F la trung điểm của GI

Do đó: CIAG là hình bình hành

mà GA=GC

nên CIAG là hình thoi

a: Xét ΔABC có

G là trung điểm của BC

F là trung điểm của AC
DO đó: FG là đường trung bình

=>FG//AE và FG=AE

=>AEGF là hình bình hành

mà \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEGF là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác BEIF có

IF//BE

EI//BF

Do đó: BEIF là hình bình hành

c: Ta có: EIFB là hình bình hành

nên FI//EB và FI=EB

=>FI=1/2IG

=>F là trung điểm của IG

Xét tứ giác CIAG có

F là trung điểm của AC

F la trung điểm của GI

Do đó: CIAG là hình bình hành

mà GA=GC

nên CIAG là hình thoi

Bài 1 : Ta có MB = MC ( gt) , ME // AC => E là trung điểm của AB ( đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác . . )

MB = MC ( gt) , MF // AB ⇒ F là trung điểm của AC ( đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác . . . )

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC . ⇒ EF // BC Vậy tứ giác BCEF là hình thang

. Mặt khác góc B = góc C ( tam giác ABC cân – gt) ⇒ Tứ giác BCEF là hình thang cân.

Bài 2: a/ chứng minh tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song ( gt) nên AEGF là hình bình hành.

tứ giác có góc A = 900 ( gt)

Vậy AEGF là hình chữ nhật

b/ vì GF // AB ⇒ FI // EB

EI // BF (gt) ⇒ BEIF là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối // )

c/ Vì AF = FC , GB = GC ( gt) ⇒ GF là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ GF = BE = 1/2 AB ⇒ GF = FI ( vì FI = BE do BEIF là hình bình hành)

⇒ GF // AB mà AB ⊥ AC ⇒ GI ⊥ AC tại F

Vậy AGCI là hình thoi ( hai đ/chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường )

d/ Để AGCI là hình vuông thì AC = GI . mà GI = 2GF = 2 EB = AB Vậy AGCI là hình vuông thì AC = AB ⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
 

Câu hỏi của Phan Thị Thah Trúc - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Bài 2.

-Hình bn tự vẽ nhé!

Bài làm:

a, Có F là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow\)AF=\(\dfrac{1}{2}\)AC (1)

Xét tam giác ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

G là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow\)EG là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\)EG=\(\dfrac{1}{2}\)AC và EG song song với AC hay EG song song với AF (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)AEGF là hình bình hành.

mà góc A= 90 độ (gt)\(\Rightarrow\)AEGF là hình chữ nhật.

AEGF là hcn nên có AE song song với GF ( Tính chất hcn) hay EB song song với IF (3)

mà EI song song với BF (gt) (4)

Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\)BFIE là hình bình hành.

b, Theo a, ta có: BFIE là hình bình hành nên BE=FI (tính chất hình bình hành) và AEGF là hình chữ nhật nên AE=GF (tính chất hình chữ nhật)

mà AE=EB (E là trung điểm của AB)

\(\Rightarrow\)GF=FI.

Xét tứ giác AGCI có: FA=FC (F là trung điểm của AC), GF=FI (cmt)

\(\Rightarrow\)AGCI là hình bình hành.

mà GI vuông góc với AC nên hình bình hành AGCI là hình thoi

c, Theo b, ta có: AGCI là hình thoi

Để tứ giác (hình thoi) AGCI là hình vuông thì góc AGC= 90 độ hay AG vuông góc với BC.

Khi đó AG là đường cao của tam giác ABC

Mặt khác AC là đường trung tuyến của tam giác ABC ( G lf trung điểm của BC)\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A

mà tam giác ABC vuông tại (gt) nên tam giác ABC vuông cân tại A thì AGCI là hình vuông.

a,b,cCâu hỏi của Đỗ Phương Thảo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

d) 

Theo c ta có: AGCI là hình thoi

=> Để AGCI là hình vuông

=> ^AGC = 1v 

=> AG vuông góc BC 

=> AG là đường cao của tam giác ABC 

mà AG là đương trung tuyến tam giác ABC ( vì G là trung điểm BC )

=> Tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AGCI là hình vuông.