a: Xét ΔCAB có

E,D lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>ED là đường trung bình của ΔCAB

=>ED//AB và \(ED=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: ED//AB

AB\(\perp\)AC

Do đó: ED\(\perp\)AC tại E

=>CA\(\perp\)FD tại E

Xét ΔCFD vuông tại C có CE là đường cao

nên \(FE\cdot FD=CF^2\left(1\right)\)

Xét ΔCFB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(FH\cdot FB=FC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(FE\cdot FD=FH\cdot FB\)

b: Xét tứ giác AHCB có

\(\widehat{CHB}=\widehat{CAB}=90^0\)

=>AHCB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>\(\widehat{HCA}=\widehat{HBA}\)

=>\(\widehat{ABH}=\widehat{ECH}\)

Xét ΔCHB vuông tại H và ΔFCB vuông tại C có

\(\widehat{CBH}\) chung

Do đó: ΔCHB đồng dạng với ΔFCB

=>\(\dfrac{HB}{CB}=\dfrac{HC}{FC}\)

=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{CB}{FC}\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A và ΔECF vuông tại E có

\(\widehat{ACB}=\widehat{EFC}\left(=90^0-\widehat{CDF}\right)\)

Do đó: ΔABC đồng dạng với ΔECF

=>\(\dfrac{AB}{CE}=\dfrac{BC}{CF}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AB}{CE}\)

Xét ΔABH và ΔECH có

\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AB}{CE}\)

\(\widehat{HBA}=\widehat{HCE}\)

Do đó: ΔABH đồng dạng với ΔECH

Câu a và b cô hướng dẫn:

a) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b)  Tứ giác FDEA là hình bình hành nên AF // DE

c) Xét tam giác AFH có AD là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân.

Vậy thì AD là tia phân giác hay \(\widehat{FAD}=\widehat{DAH}\)

Do tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC nên  MA = MB = MC hay \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\)

Vậy thì \(\widehat{FAD}+\widehat{BAM}=\widehat{DAH}+\widehat{ABM}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FAM}=90^o\)

Vậy tam giác AFM vuông.

c) Gọi giao điểm của AM và DE là G.

Do FA // DE mà AM vuông góc FA nên AM vuông góc DE.

Vậy thì ta có ngay AFDE là hình chữ nhật.

Suy ra KG giao AD tại trung điểm mỗi đường hay I cũng là trung điểm KG.

Vậy thì AM, DE và KI đồng quy tại điểm G.

Em cảm ơn ạ !

a:

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

góc OAC+góc AED=90 độ

=>góc OAC+góc AHD=90 độ

=>góc OAC+góc ABC=90 độ

=>góc OAC=góc OCA

=>OA=OC và góc OBA=góc OAB

=>OA=OB=OC

=>O là trung điểm của BC

b: góc KAB+góc OAB=90 độ

gócHAB+góc OBA=90 độ

mà góc OAB=góc OBA

nên góc KAB=góc HAB

=>AB là phân giác của góc HAK

c: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC

.