Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=abc . Chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}< 1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2022
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2021
Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành
Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$
CMR: $xyz=1$
-----------------------------
Có:
$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$
$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)
Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$
$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$
$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)
Ta có đpcm.
KB
2 tháng 4 2022
Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2021
Đề sai. Bạn cho $a=b=c=1$ thì vế trái là $3\sqrt{2}> \sqrt{2}$ rồi.
Từ giả thiết \(\Rightarrow a+b=abc-c=c\left(ab-1\right)\Rightarrow c=\dfrac{a+b}{ab-1}\) (hiển nhiên \(ab-1>0\) do \(a+b>0\))
Đặt \(P=\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+\left(\dfrac{a+b}{ab-1}\right)^2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\dfrac{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}}{ab-1}\)
\(\Rightarrow P< \dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\dfrac{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}}{ab}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a}=\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}}=x>1\\\dfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}=\sqrt{1+\dfrac{1}{b^2}}=y>1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P< x+y-xy=x+y-xy-1+1=\left(x-1\right)\left(1-y\right)+1\)
Do \(x>1;y>1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(1-y\right)< 0\Rightarrow P< 1\)