\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)

\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)

\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)

\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Cách khác:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$

$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$

Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:

$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$

$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

a) \(M=a\left(b+c\right)^2+b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)

\(M=a\left(b+c\right)^2+a^2b+c^2b+a^2c+b^2c\)

\(M=a\left(b+c\right)^2+a^2\left(b+c\right)+bc\left(b+c\right)\)

\(M=a.0^2+a^2.0+bc.0=0\left(đpcm\right)\)

b)\(M=a\left(b+c\right)^2+a^2\left(b+c\right)+bc\left(b+c\right)\)

\(M=\left(b+c\right)\left(ab+ac+a^2+bc\right)\)

\(M=\left(b+c\right)\left[a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\)

\(M=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

Lời giải:
Vì $a,b,c\in [0;1]$ nên: \(a(a-1)(b-1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow a(ab-a-b+1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow a^2b\geq a^2+ab-a\)

Tương tự với \(b^2c; c^2a\) suy ra:

\(a^2b+b^2c+c^2a+1\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+1-a-b-c(1)\)

Lại có:

\((a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+1\geq a+b+c+abc\geq a+b+c(2)\) do $abc\geq 0$

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+1\geq a^2+b^2+c^2\) (đpcm)