cho đường tròn tâm o , các điểm b và c nằm trên đường tròn . các tiếp tuyến tại b và c cắt nhau tại a . gọi m là điểm của cung nhỏ bc . tiếp tuyến tại m cắt ab và ac theo thứ tự d và e . gọi giao điểm của od và oe với bc lần lượt là i và k

Chứng minh rằng :

a) các tứ giác OBDK , DIKE là tứ giác nội tiếp ,

b)ba đường thẳng OM , DK , EI đồng quy

cho điểm A nằm ngoài đường tròn O, từ kẻ đường thẳng d không đi qua tâm cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa Svà C ). các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại D . từ D kẻ DH vuông góc với OA ( H lằm trên OA ) , DH cắt cung nhỏ BC tại M gọi i là giao điểm của DO và BC a, chứng minh tg OHDC nội tiếp b, OH . OA = OI . OD

Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). OA cắt BC tại H, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm I và K (I thuộc cung BC nhỏ, K thuộc cung BC lớn). Vẽ đường kính CD, cát tuyến AD cắt (O) tại M. BM cắt OA tại N
Chứng minh: a) Tứ giác AMHC nội tiếp
                      b) N là trung điểm của AH
                      c) 1/AN=1/AI+1/AK

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

Gọi M là một điểm trên cung nhỏ  B C ⏜  (M khác B; C và AM không đi qua O).

Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.

2). Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M. Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.

Cho 3 điểm ABC theo thứ tự thằng hàng. Một đường tròn O đi qua hai điểm B và C. Từ điểm chính giữa M của cung nỏ BC đường kính MN cắt dây BC tại D. T a n cắt đường tròn tại điểm thứ hai I . Các dây BC,MI cắt nhau tại K

A ) chứng minh rằng khi đường tròn Tâm O  thay đổi nhưng vẫn đi qua hai điểm b và c thì đường MI luôn đi qua điểm cố định

B) xác định đường tròn tâm O để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất

Cho đường tròn (O) , dây BC không phải là đường kính . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại A . Lấy M trên cung nhỏ BC (M khác B , C) , gọi I , H , K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống BC , CA và AB . Chứng minh :

   a) Các tứ giác BKMI , CHMI là nội tiếp 

   b) MI² = MK . MH 

   c) BM cắt IK tại D , CM cắt IH tại E . Chứng minh DE // BC 

Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC sao cho góc BOC = 90 độ. Tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở A. Trên cung nhỏ BC lấy điểm I, qua I vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, AC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông

b) OM, ON cắt BC lần lượt tại H và K. Chứng minh tứ giác OHNC nội tiếp