Gọi thương trong phép chia

+) f(x) cho (x-1) là g(x)

+) f(x) cho (x-2) là h(x)

Theo đề bài ta có : \(\hept{\begin{cases}f\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot g\left(x\right)+4\left(I\right)\\f\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot h\left(x\right)+13\left(II\right)\end{cases}}\)

Thay x = 1 vào (I) ta được 1 + a + b = 4 => a + b = 3 (1)

Thay x = 2 vào (II) ta được 8 + 2a + b = 13 => 2a + b = 5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\hept{\begin{cases}a+b=3\\2a+b=5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)

=> 3a + 2b = 3.2 + 2.1 = 6 + 2 = 8

Áp dụng định lý Bezout ta có:

f(x) chia hết cho x-3 \(\Rightarrow f\left(3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a+3b=-87\left(1\right)\)

g(x) chia hết cho x-3 \(\Rightarrow g\left(3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-3a+2b=-318\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+3b=-87\\-3a+2b=-318\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=60\\b=-69\end{cases}}\)

Vậy ...

Lời giải:

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức thì số dư của $f(x)$ chia cho $x-a$ có số dư là $f(a)$. 

Áp dụng vào bài:

$f(2)=8a+4b+10=14\Leftrightarrow 2a+b=1(1)$

$f(-1)=-a+b-14=-16\Leftrightarrow -a+b=-2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=1; b=-1$

f(x)= (x-3). Q(x)+2 moi X 
f(x)=(x+4).H(x)+9 moi X 
=>f(3)= 2 
f( -4)= 9 
f(x)= (x^2+x-12).(x^2+3)+ ax +b 
=(x-3)(x+4). (x^2+3) +ax+b 
=>f(3)= 3a+b=2 
f(-4)=b -4a=9 
=>a= -1; b=5 
=> f(x)=(x^2+x-12)(x^2+3)-x+5 
= x^4+x^3-9x^2+2x-31

Ta thấy :

x² +x -12 = x² +4x - 3x-12

               = x(x+4) - 3(x+4)

               = (x-3)(x+4)

Vì :

f(x) chia (x-1)(x+4) được x² + 3 và còn dư

Mà số dư có bậc không vượt quá 1

   => f(x) = (x-3)(x+4)(x² + 3) +ax +b

Ta có :

f(x) chia (x-3) dư 2

   => f(3)=2

   => 3a+b=2

f(x) chia (x+4) dư 9

   => f(-4)=9

   => b-4a=9

=> 3a+b-b+4a = 2-9

          7a          = -7

=> a= -1

=> -3 + b =2

           b=5

Vậy đa thức f(x) = (x-3)(x+4)(x² + 3) - x + 5

THAM KHẢO:

Dư mấy vậy bạn?