\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2\left(x^4+y^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3\right)\)

\(=2\left(\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)+\left(2x^3y+2xy^3\right)+x^2y^2\right)\)

\(=2\left(\left(x^2+y^2\right)^2+2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\right)\)

\(=2\left(x^2+y^2+xy\right)^2\)

Đặt x² + xy + y² = a² ; x + y = b.Ta có :

a⁴ = (a²)² = (x² + xy + y²)² = x⁴ + y⁴ + x²y² + 2x³y + 2xy² + 2x²y² = x⁴ + y⁴ + x²y² + 2xy(x² + y² + xy) = x⁴ + y⁴ + x²y² + 2xya² (1)

mà b = x + y

=> b² = x² + y² + 2xy = a² + xy => b⁴ = a⁴ + x²y² + 2a²xy .Từ (1) và (2) ,ta có :

2a⁴ = x⁴ + y⁴ + a⁴ + x²y² + 2xya² = x⁴ + y⁴ + b⁴.Thay a² = x² + xy + y² ; b = x + y,ta có đpcm

<=> 

a. Ta có : (x + y)[(x - y)² + xy]

= (x + y)(x² - 2xy + y² + xy)

= (x + y)(x² - xy + y²)

= x³ + y³ 

b. Ta có : x³ + y³ - xy(x + y) 

= x³ + y³ - x²y - xy²

=x²(x - y) + y²(y - x)

= (x - y)(x² - y²)

= (x - y)².(x + y) đpcm

c) Ta có (x + y)³ - 3xy(x + y)

= (x + y)[(x + y)² - 3xy)

= (x + y)(x² + 2xy + y² - 3xy)

= (x + y)(x² - xy + y²) (đpcm)

a) VP = ( x + y )( x² - 2xy + y² + xy ) = ( x + y )( x² - xy + y² ) = x³ + y³ = VT ( đpcm )

b) VP = ( x + y )( x - y )² = ( x + y )( x² - 2xy + y² ) = x³ - 2x²y + xy² + x²y - 2xy² + y³ = x³ + y³ - x²y - xy² = x³ + y³ - xy( x + y ) = VT ( đpcm )

c) VP = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - 3x²y - 3xy² = x³ + y³ = ( x + y )( x² - xy + y² ) = VT ( đpcm )

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).

Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)

Do đó x > 0 nên y > 0.

Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)

Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4) 

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).

Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).

Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.

Thay x = y vào (2) ta được:

\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))

PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v

\(Q=10xy^2-\frac{3}{7}xy-8xy^2-\frac{4}{7}xy-y\)

a) \(Q=\left(10xy^2-8xy^2\right)+\left(-\frac{3}{7}xy-\frac{4}{7}xy\right)-y\)

\(Q=2xy^2-xy-y\)

b) Chỗ này sửa thành Q nhá 

Thay x = -7 ; y = -2 vào Q ta được :

\(Q=2\cdot\left(-7\right)\cdot\left(-2\right)^2-\left(-7\right)\cdot\left(-2\right)-\left(-2\right)\)

\(Q=2\cdot\left(-7\right)\cdot4-14+2\)

\(Q=-56-14+2\)

\(Q=-68\)

Vậy giá trị của Q = -68 khi x = -7 ; y = -2

a) điều kiện xác định: x≠3 và x≠2

b) \(\dfrac{x^2-4}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}\)=\(\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}\)=\(\dfrac{x+2}{x-3}\)

Tại x=13 ta có \(\dfrac{13+2}{13-3}\)=\(\dfrac{3}{2}\)

Giá trị nhỏ nhất là -1

Đạt được khi x=-3; 3 và y=3

\(=\dfrac{\sqrt{a}+2+\sqrt{a}-2}{a-4}:\dfrac{\sqrt{a}+2-2}{\sqrt{a}+2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{a}}{a-4}\cdot\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{\sqrt{a}-2}\)

\(a,=\dfrac{x^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{1-x}=\dfrac{x^3-x^3+1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}\\ b,=\dfrac{2x+x^2+3x+2+2-x}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x+2\right)^2}=1\)

Thank bạn <3

1. = \(\dfrac{x+y}{x-y}\)
2. = \(\dfrac{x}{x+3}\)