a: Xét ΔAMO vuông tại M và ΔANO vuông tại N có

AO chung

AM=AN

Do đó: ΔAMO=ΔANO

=>góc MAO=góc NAO

=>AO là phân giác của góc MAN

b: OB=OA

OA=OC

Do đó: OB=OC

c: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

Câu a là cm AD mà với câu b cm tam giác cân lquan j

a) Ta có: \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CE là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\widehat{ACE}=\widehat{BCE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE(g-c-g)

Suy ra: AD=AE(Hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔADE có AE=AD(cmt)

nên ΔADE cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

\(\Leftrightarrow\widehat{AED}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy của ΔADE cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(cmt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy của ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{AED}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên ED//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

c) Ta có: \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(cmt)

nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)

nên ΔOBC cân tại O(Định lí đảo của tam giác cân)

d) Ta có: \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)

mà \(\widehat{OBC}=\widehat{ODE}\)(hai góc so le trong, ED//BC)

và \(\widehat{OCB}=\widehat{OED}\)(hai góc so le trong, ED//BC)

nên \(\widehat{OED}=\widehat{ODE}\)

Xét ΔODE có \(\widehat{OED}=\widehat{ODE}\)(cmt)

nên ΔODE cân tại O(Định lí đảo của tam giác cân)

a) BD là phân giác ^B (gt) => ^ABD = ^DBC = \(\dfrac{1}{2}\) ^B

    CE là phân giác ^C (gt) => ^ACE = ^ECB = \(\dfrac{1}{2}\) ^C

Lại có: ^B = ^C (tam giác ABC cân tại A)

=> ^ABD = ^DBC = ^ACE = ^ECB

Xét tam giác ABD và tam giác ACE:

^A chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

^ABD = ^ACE (cmt)

=> Tam giác ABD = Tam giác ACE (g - c - g)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

b) Xét tam giác ADE có: AD = AE (tam giác ABD = tam giác ACE)

=> Tam giác ADE cân tại A

=> ^ADE = ^AED = \(\dfrac{180^o-gócA}{2}\) (1)

Tam giác ABC cân tại A (gt) => ^B = ^C = \(\dfrac{180^o-gócA}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => ^ADE = ^AED = ^B = ^C

Ta có: ^ADE = ^C (cmt)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> DE // BC (dhnb)

c) Xét tam giác OBC có: ^DBC = ^ECB (cmt)

=>  Tam giác OBC cân tại O

d)  Xét tam giác EBC và tam giác DCB có:

^B = ^C (tam giác ABC cân tại A)

BC chung

^ECB = ^DBC (cmt)

=> Tam giác EBC = Tam giác DCB (g - c - g)

=> EC = DB (2 cạnh tương ứng)

Ta có: EC = EO + OC

           DB = DO + OB

Mà  EC = DB (cmt); OC = OB (Tam giác OBC cân)

=> EO = DO

=> Tam giác OED cân tại O

*tự vẽ hình 

A )Vì

BD là phân giác góc ABC và CE là phân giác góc ACB nên góc ABD=góc ACE

Tam giác ADB và Tam giác AEC có 

AB=AC(gt)

Góc A chung

góc ABD=góc ACE

suy ra Tam giác ADB =Tam giác AEC(cgc) nên AD=AE

B

a: Xét ΔOBC có góc OBC=góc OCB

nên ΔOBC cân tại O

b: AB=AC

BO=CO

=>AO là trung trực của BC

=>AO vuông góc BC

c: Xét ΔAQB và ΔAPC có

góc ABQ=góc ACP

AB=AC
góc A chung

=>ΔAQB=ΔAPC

=>QB=PC

a) Gọi G, F lần lượt là chân đường vuông góc từ O kẻ xuống AB và AC

Ta có: O nằm trên đường trung trực của AB(gt)

mà OG⊥AB(gt)

nên G là trung điểm của AB

Ta có: O nằm trên đường trung trực của AC(gt)

mà OF⊥AC(gt)

nên F là trung điểm của AC

Ta có: (G là trung điểm của AB)

(F là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AG=AF

Xét ΔAGO vuông tại G và ΔAFO vuông tại F có 

AO chung

AG=AF(cmt)

Do đó: ΔAGO=ΔAFO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: (hai góc tương ứng)

hay 

mà tia AO nằm giữa hai tia AB,AC

nên AO là tia phân giác của (đpcm)

c) Xét ΔAOB và ΔAOC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

(cmt)

AO chung

Do đó: ΔAOB=ΔAOC(c-g-c)

Suy ra: OB=OC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: (tia BC nằm giữa hai tia BA,BK)

nên (1)

Ta có: (tia CB nằm giữa hai tia CA,CK)

nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

mà (hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên 

Xét ΔKBC có (cmt)

nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)

Suy ra: KB=KC(hai cạnh bên)

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCDB vuông tại D có 

BC chung

(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBEC=ΔCDB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: (hai góc tương ứng)

hay 

Xét ΔHBC có (cmt)

nên ΔHBC cân tại H(Định lí đảo của tam giác cân)

Suy ra: HB=HC(hai cạnh bên)

Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OB=OC(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Ta có: HB=HC(cmt)

nên H nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)

Ta có: KB=KC(cmt)

nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra A,O,H,K thẳng hàng(đpcm)

AK là tia phân giác của góc A ở đâu vậy?