a: góc EAB=1/2*90=45 độ

=>góc AEB=45 độ

b: góc EFD=góc FAB+góc FBA=90 độ+góc DAB

góc ECD+góc ACD=180 độ

=>góc ECD=góc DBA

=>góc EFD+góc ECD=180 độ

=>CDFE nội tiếp

a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

\(Ax\perp AB\)

\(By\perp AB\)

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có AC // BD

Suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}\) ( hệ quả định lí Ta-lét )     (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM      (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Trong tam giác ACD, ta có:  \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: \(AC\perp AB\) ( vì \(Ax\perp AB\) )

Suy ra: \(MN\perp AB\)

b. Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra:  \(\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DA}\)( hệ quả định lí Ta-lét )     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC ( vì M, N, H thẳng hàng )

Suy ra:  \(\frac{HN}{AC}=\frac{BN}{BC}\)( hệ quả định lí Ta-lét )     (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{BN}{NC}\) ( hệ quả định lí Ta-lét )

 \(\Rightarrow\frac{ND}{\left(DN+NA\right)}=\frac{BN}{BN+NC}\Leftrightarrow\frac{ND}{DA}=\frac{BN}{BC}\left(5\right)\)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  \(\frac{MN}{AC}=\frac{HN}{AC}\Rightarrow MN=HN\)

Ax \(\perp\) AB

By \(\perp\) AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có AC // BD

Suy ra:  \(\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}\)(hệ quả định lí Ta-lét)     (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Trong tam giác ACD, ta có: \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC \(\perp\) AB (vì Ax \(\perp\) AB)

Suy ra: MN \(\perp\) AB

b. Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: \(\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DA}\) (hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)

Suy ra: \(\frac{HN}{AC}=\frac{BN}{BC}\) (hệ quả định lí Ta-lét)     (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{BN}{NC}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{ND}{\left(DN+NA\right)}=\frac{BN}{\left(BN+NC\right)}\Leftrightarrow\frac{ND}{DA}=\frac{BN}{BC}\left(5\right)\)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: MN/AC = HN/AC => MN = HN