a) Nếu n = 3k+1 thì  n 2 = (3k+1)(3k+1) hay  n 2  = 3k(3k+1)+3k+1

Rõ ràng  n 2  chia cho 3 dư 1

Nếu n = 3k+2 thì  n 2 = (3k+2)(3k+2)  hay  n 2 = 3k(3k+2)+2(3k+2) = 3k(3k+2)+6k+3+1 nên  n 2  chia cho 3 dư 1.

b) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3. Vậy p 2  chia cho 3 dư 1 tức là   p 2 = 3 k + 1  do đó  p 2 + 2003 = 3 k + 1 + 2003 = 3k+2004 ⋮ 3

Vậy p 2 + 2003  là hợp số

a) n không chia hết cho 3 => n chia cho 3 dư 1 hoặc 2

+) n chia cho 3 dư 1 : n = 3k + 1 => n2 = (3k +1).(3k +1) = 9k2 + 6k + 1 = 3.(3k2 + 2k) + 1 => n2 chia cho 3 dư 1

+) n chia cho 3 dư 2 => n = 3k + 2 => n2 = (3k +2).(3k+2) = 9k2 + 12k + 4 = 3.(3k2 + 4k +1) + 1 => n2 chia cho 3 dư 1

Vậy...

b) p là số nguyên tố > 3 => p lẻ => p2 lẻ => p2  + 2003 chẵn => p2 + 2003 là hợp số

Ta có: $p$ là số nguyên tố $>3$

suy ra $p\not\vdots 3$

Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 mà $p^2$ là số chính phương
$p^2\not\vdots 3$ suy ra $p^2 \equiv 1 (mod 3) $

Mà $2009 \equiv 2 (mod 3)$

nên $p^2+2009 \equiv 3 \equiv 0 (mod 3)$

Hay $p^2+2009 \vdots 3$

mà $p^2+2009>3$ nên $p^2+2009$ là hợp số

Bạn ơi cái bị lỗi có dấu ko chia hết nhé

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

Ta chứng minh p + 1 \(⋮\)2,3

- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> p + 1 = 2k + 1 => p + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2 ( k + 1)

Mà : k + 1 \(\in\) N => 2 ( k + 1 ) \(⋮\)2 (1)

- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

+ Trường hợp 1 : p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )

Mà : k + 1 \(\in\) N ; p > 3 => k \(\ge\) 1 => 3 ( k + 1 ) là hợp số

=> p + 2 là hợp số ( vô lý )

=> p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )

Mà : k + 1 \(\in\) N => 3 ( k + 1 ) \(⋮\)3 hay p + 1 \(⋮\)3 (2)

Từ (1) và (2) => p + 1 \(⋮\)6 (đpcm)

bạn ơi tai sao 2k + 1 = 2k +1+1

p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

Mà dạng 3k+1 không thể xảy ra nên p = 3k+2

Do đó, ta có: p²+2012 = (3k+2)²+2012 = (3k+2)(3k+2)+2012

                                 = 3k(3k+2)+2(3k+2)+2012 = 9k²+6k+6k+4+2012

                                 = 9k²+12k+2016 = 3(3k²+4k+672)

=> p²+2012 chia hết cho 3 => p²+2012 là hợp số

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc 2 và p là số lẻ

=>p-1 là số chẵn và p+1 cũng là số chẵn

=>(p-1)(p+1) chia hết cho 2*4=8(Vì p-1 và p+1 là hai số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8)

=>\(p^2-1⋮8\)(1)

TH1: p=3k+1

\(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\)

\(=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(p^2-1⋮BCNN\left(3;8\right)=24\)(4)

TH2: p=3k+2

\(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\)

\(=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)(3)

Từ (1) và (3) suy ra \(p^2-1⋮BCNN\left(3;8\right)=24\)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(p^2-1⋮24\)

-Vì p,q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\)p,q có dạng \(3k+1\) hoặc \(3h+2\).

-Có: \(p^2-q^2=p^2+pq-pq-q^2=p\left(p+q\right)-q\left(p+q\right)=\left(p+q\right)\left(p-q\right)\).

*\(p=3k+1;q=3h+2\).

\(p^2-q^2=\left(3k+1+3h+2\right)\left(3k+1-3h-2\right)=\left(3k+3h+3\right)\left(3k+1-3h-2\right)⋮3\)

-Các trường hợp p,q có cùng số dư (1 hoặc 2) khi chia cho 3:

\(\Rightarrow\left(p^2-q^2\right)⋮3̸\).

-Vậy \(\left(p^2-q^2\right)⋮3\)

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.