Cô ơi em có cách khác ạ :)

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=0

Khi đó T=0

Ta có: 

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

<=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{x^2}{a^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{y^2}{b^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{z^2}{c^2}\)

<=> \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2+\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2=0\)

vì a, b , c khác 0 nên \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2};\frac{\left(c^2+a^2\right)}{b^2};\frac{\left(b^2+a^2\right)}{c^2}\ne0\)

\(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2\ge0;\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2\ge0;\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2\ge0\)với mọi x, y, z

=> \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2+\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2\ge0\)với mọi x; y; z

Do đó: \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2+\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2=0\)

=> x = y = z = 0

Vậy T = 0 

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{b^2}\)\(+\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)

\(x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)\)\(+y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)\)\(=0\)

Vì \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\ne0,\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\ne0\)\(,\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\ne0\) và \(a,b,c\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow T=0\)

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+\frac{x^2b^2}{a^2}+\frac{x^2c^2}{a^2}+y^2+\frac{y^2a^2}{b^2}+\frac{y^2c^2}{b^2}+z^2+\frac{z^2a^2}{c^2}+\frac{z^2b^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2b^2}{a^2}+\frac{x^2c^2}{a^2}+\frac{y^2a^2}{b^2}+\frac{y^2c^2}{b^2}+\frac{z^2a^2}{c^2}+\frac{z^2b^2}{c^2}=0(*)\)

Bởi vì mỗi số hạng trong tổng $(*)$ đều là những số không âm, cho nên để tổng các số không âm bằng $0$ thì bản thân mỗi số đó phải bằng $0$

Do đó:
\(\Leftrightarrow \frac{x^2b^2}{a^2}=\frac{x^2c^2}{a^2}=\frac{y^2a^2}{b^2}=\frac{y^2c^2}{b^2}=\frac{z^2a^2}{c^2}=\frac{z^2b^2}{c^2}=0\)

Do $a,b,c\neq 0$ nên \(x^2=y^2=z^2=0\Rightarrow x=y=z=0\)

Khi đó:\(T=x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=0\)

minh chang hieu gi ca

nho k cho minh nha

minh chang hieu gi  ca