kết quả sẽ ra là

(a-b)(a-c)(b-c)=0

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)

\(\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2a}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{c^2a}{abc}+\frac{a^2b}{abc}\)

\(=>a^2c+b^2a+c^2a=b^2c+c^2a+a^2b\)

Vì \(c^2a=c^2a\)=> \(a^2c+b^2a=b^2c+a^2b\)

=>đpcm, hình như mình giải thiếu điều kiện thì phải 

\(abc\ne0\)

\(abc\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)=abc\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2=b^2c+ac^2+a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2c-b^2c+ab^2-a^2b+bc^2-ac^2=0\)

\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ac+bc-ab-c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\) (đpcm)

Lời giải:

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{abc}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2=a^2b+b^2c+c^2a\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=0\)

\(\Leftrightarrow ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-c)=0\)

\(\Leftrightarrow ab(b-a)-bc[(b-a)+(a-c)]+ac(a-c)=0\)

\(\Leftrightarrow (b-a)(ab-bc)+(a-c)(ac-bc)=0\)

\(\Leftrightarrow b(b-a)(a-c)-c(a-c)(b-a)=0\)

\(\Leftrightarrow (b-a)(a-c)(b-c)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)

Do đó luôn tồn tại hai số bằng nhau (đpcm)

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2c}{abc}+\dfrac{b^2a}{abc}+\dfrac{c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c}{abc}+\dfrac{a^2b}{abc}+\dfrac{c^2a}{abc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c+a^2b+c^2a}{abc}\)

\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+a^2b+c^2a\)

\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-a^2b-c^2a=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2c-c^2a\right)+\left(b^2a-a^2b\right)+\left(c^2b-b^2c\right)=0\)

\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b\right)=0\)

\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b+a-a\right)=0\)

\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-a\right)+bc\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\left(c-a\right)=0\)

\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\left(a-c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=b\\a=c\\a=b\end{matrix}\right.\)(Tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau)

Áp dụng ta đc:

\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5a+5b+5c}{a+b+c}=5\left(\text{vì: a,b,c khác 0}\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow P=6\)

\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)

Xét \(a+b+c\ne0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Thay vào P ta được P=6

Xét \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)

Thay vào P ta được P= -3

Vậy P có 2 gtri là ...........

ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ba+ac+ab}{abc}\)

mà abc = 1

\(\Rightarrow a+b+c=ba+ac+ab\)

Lại có: (a-1).(b-1).(c-1)

 = (ab - a - b + 1) . ( c-1)

= abc - ac - bc + c - ab + a + b - 1

= ( abc - 1) +( a+ b + c ) - ( ac + bc + ab)

= (  1 - 1) + ( a + b + c)  - ( a + b + c)

= 0 

=> (a-1).(b-1).(c-1) = 0

=> trong 3 số a;b;c tồn tại một số bằng 1

câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m

Bạn nói rõ hơn được không???

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)². VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)