\(A=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right).n\left(n^2+1\right)\left(I\right)\)

\(A=\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right).n^2\right]\left(n^2-4+5\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right).n^2\left(n^2-2^2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right).n^2\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right).n^2\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right).n^2\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right).n^2+5\left(n-1\right)\left(n+1\right).n^2\left(II\right)\)

1)với (I) A là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 &3

2) với bửu thức (II) A là tổng hai số hạng

số hạng đầu là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp=> chia hết cho 5

số hạng sau hiển nhiên chia hết cho 5 do có thừa số 5

KL

Với (I) A chia hết cho 2&3

Với (II) A chia hết cho 5

(I)&(II)=> điều bạn muốn tìm

Áp dụng Fermat nhỏ là xong nhé

vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé

1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Do đó : 

\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)

2.

Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó : 

\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)

a)

\(55^{n+1}-55^n\\ =55^n.55-55^n\\ =55^n\left(55-1\right)\\ =55^n.54⋮54\\ \RightarrowĐpcm\)

b)

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\\ =\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\\ =n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\\ \)

c)

\(2^{n+2}+2^{n+1}+2^n\\ =2^n.2^2+2^n.2+2^n\\ =2^n\left(4+2+1\right)\\ =2^n.7⋮7\)

Xét n trong các trường hợp sau:

+) n = 4k (k \(\in\) N) => VT = \(\left[\frac{4k+3}{4}\right]+\left[\frac{4k+5}{4}\right]+\left[\frac{4k}{2}\right]=\left[k+0,75\right]+\left[k+1,25\right]+\left[2k\right]\)

\(=k+\left(k+1\right)+2k=4k+1=n+1\)= VP

+) n = 4k + 1 (k \(\in\) N) => VT = \(\left[\frac{4k+4}{4}\right]+\left[\frac{4k+6}{4}\right]+\left[\frac{4k+1}{2}\right]=\left[k+1\right]+\left[k+1,5\right]+\left[2k+0,5\right]\)

\(=\left(k+1\right)+\left(k+1\right)+2k=4k+2=n+1\)= VP

+) n = 4k + 2 (k \(\in\) N)   => VT= \(\left[\frac{4k+5}{4}\right]+\left[\frac{4k+7}{4}\right]+\left[\frac{4k+2}{2}\right]=\left[k+1,25\right]+\left[k+1,75\right]+\left[2k+1\right]\)

\(=\left(k+1\right)+\left(k+1\right)+\left(2k+1\right)=4k+3=n+1\)= VP

+) n = 4k + 3 (k \(\in\) N)  => VT = \(\left[\frac{4k+6}{4}\right]+\left[\frac{4k+8}{4}\right]+\left[\frac{4k+3}{2}\right]=\left[k+1,5\right]+\left[k+2\right]+\left[2k+1,5\right]\)

\(=\left(k+1\right)+\left(k+2\right)+\left(2k+1\right)=4k+4=n+1\)= VP

Từ các trường hợp trên => đpcm

\(\frac{n+3}{4}+\frac{n+5}{4}+\frac{n}{2}=\frac{n+3}{4}+\frac{n+5}{4}+\frac{2n}{4}=\frac{n+3+n+5+2n}{4}=\frac{4n+8}{4}=n+2\)

a, Ta có: \(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)

\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)

\(=5n^2+5n=5\left(n^2+n\right)⋮5\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b, \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)\)

\(=6n^2+31n+5-6n^2-7n+5\)

\(=24n+10=2\left(12n+5\right)⋮2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a) $\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2$

= n³ + 2n² + 3n² + 6n - n - 2 + 2

= 5n² + 5n

= 5(n² + n ) chia hết cho 5

b) $\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)$

$=\; 6n2\; +\; 30n\; +\; n\; +\; 5\; -\; 6n2\; +\; 3n\; -\; 10n\; +5$

$=\; 24n\; +\; 10$

= 2(12n +5) chia hết cho 2

a, Ta có : \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right).\left(4n^2+4n\right)\)

\(=4n.\left(n+2\right).\left(n+1\right)\)

\(=4n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮4\)

\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\) là tích của ba số liên tiếp

\(\Rightarrow n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮2\) và \(3\)

mà \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮\left(2.3\right)\)

Vậy \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)⋮24\left(đpcm\right)\)

b,

+ Thực hiện phép tính :

Ta có : \(\dfrac{6n^2+n-1}{3n+2}=2n-1+\dfrac{1}{3n+2}\)

Để \(\left(6n+n-1\right)⋮\left(3n+2\right)\) thì \(\dfrac{1}{3n+2}\in Z\)

\(\Rightarrow3n+2\inƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrow3n+2\in\left\{\pm1\right\}\)

Ta có bảng sau :

Vậy n = -1