Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $AM$ không là đường kính ($M$ không trùng $B,C$). Gọi $I,H,K$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên các đường thẳng $BC,AB,AC$. Chứng minh ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng.

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội  tiếp đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AD của đường tròn(O)

a) CM tứ giác ABHM,AHNC nội tiếp

b) CM tam giác HMN đồng dạng tam giác ABC

c) Chứng minh HM vuông góc với AC

d) Gọi I là tủng điểm của BC. CM I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN

Bài 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, Cl à trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN

a) CM tứ giác BCHK nội tiếp

b) Chứng minh tam giác MBN đều

c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM+KN+KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R 

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A sao cho OA=2R. VẼ các tiếp tuyến AB,AC ( B,C) là các tiếp điểm. Đường thẳng OA cắt BC tại H,  cắt cung nhỏ BC và cung lớn BC lần lượt tại I,K

a/ CM OA vuông góc với BC, HI=OA=R bình phương

b/ CM tam gaics ABC đều, tứ giác ABKC là hình thoi

c/ CHứng tỏ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính theo R bán kính của đường tròn này. 

d/ Vẽ cát tueyens bất kì AMN của đường tròn tâm O. Gọi E là tủng điểm MN. CHứng tỏ 5 điểm O,E,A,B,C cùng thuộc một đường tròn

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). D là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.

a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng  ( Câu a không cần làm nhé)

b) Chứng minh \(\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\)

c) Tìm vị trí của D trên cung BC để IK có  giá trị lớn nhất

d) Tìm vị trí của D trên cung BC để \(\frac{BC}{DH}+\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\) có  giá trị nhỏ nhất

e)/ Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB, AC. G là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh P, G, Q thẳng hàng

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.