a: Xét tứ giác MAOB có 

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp

a) Ta có

MAMA là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 ⇒⇒ MA⊥OAMA⊥OA => ˆMAO=90°MAO^=90° 

MBMB là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 ⇒⇒ MB⊥OBMB⊥OB => ˆMBO=90°MBO^=90°

Xét tứ giác MAOBMAOB có ˆMAO+ˆMBO=180°MAO^+MBO^=180° mà chúng ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác MAOBMAOB là tứ giác nội tiếp 

⇒⇒ M,A,O,BM,A,O,B cùng thuộc 11 đường tròn

b) Ta có MA,MBMA,MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại MM

⇒⇒ MA=MBMA=MB ⇒⇒ MOMO là tia phân giác ˆAMBAMB^

Xét ΔAMI∆AMI và ΔBMI∆BMI 

Có MA=MBMA=MB (cmt)

ˆAMI=ˆBMIAMI^=BMI^ (cmt) 

MIMI chung => ΔAMI=ΔBMI∆AMI=∆BMI (c.g.c)

⇒⇒ ˆAIM=ˆBIMAIM^=BIM^ 

Mà ˆAIM+ˆBIM=180°AIM^+BIM^=180° (kề bù)

⇒⇒ ˆAIM=180°2=90°AIM^=180°2=90°

⇒⇒ MO⊥ABMO⊥AB tại II

c) Ta có: ˆBDC=90°BDC^=90°(Góc nội tiếp chắn đường kính BCBC) 

⇒⇒ ΔBDC∆BDC vuông tại D⇒BD⊥CDD⇒BD⊥CD

ΔBCM⊥BΔBCM⊥B (do BMBM là tiếp tuyến của (O))

Hệ thức lượng vào ΔBCM⊥B,BD⊥CDΔBCM⊥B,BD⊥CD (chứng minh trên) ta có:

BM2=MD.MCBM2=MD.MC (1)

Xét ΔMAO∆MAO vuông tại A

AI⊥OMAI⊥OM (Vì AB⊥OMAB⊥OM) ⇒⇒ AM2=MI.MOAM2=MI.MO (2)

mà AM=BMAM=BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3) 

Từ (1), (2) và (3) ⇒⇒ MD.MC=MA2=MI.MOMD.MC=MA2=MI.MO

d) Xét ΔEOM∆EOM cà ΔIOF∆IOF 

ˆEOMEOM^ chung 

ˆOIF=ˆOEM=90°OIF^=OEM^=90° (gt &cm)

⇒⇒ ΔEOM∼ΔIOF∆EOM∼∆IOF (g.g)

⇒⇒ OEOI=OMOFOEOI=OMOF (tỉ số đồng dạng)

⇒⇒ OE.OF=OM.OIOE.OF=OM.OI

Lại có ΔOAM∆OAM vuông tại AA

Mà AI⊥OMAI⊥OM (cmt)

⇒⇒ OA2=OI.OMOA2=OI.OM Mà OA=OC=ROA=OC=R

⇒⇒ OC2=OF.OEOC2=OF.OE

⇒⇒ OCOE=OFOCOCOE=OFOC

Xét ΔOCF∆OCF và ΔOCE∆OCE có 

ˆCOFCOF^ chung 

OCOE=OFOCOCOE=OFOC

⇒⇒ ΔOCF∼ΔOEC∆OCF∼∆OEC (c.g.c)(c.g.c)

⇒⇒ ˆOFC=ˆOCE=90°OFC^=OCE^=90°

⇒⇒ OC⊥CFOC⊥CF tại C

⇒⇒ FCFC là tiếp tuyến của đường tròn 

(ĐPCM)

Lời giải:
1. Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$.

Khi đó $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Tứ giác $MAOB$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2.

Có: $MA=MB, OA=OB$ nên $MO$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow MO\perp AB$ tại $C$.

Xét tam giác $MOB$ vuông tại $B$ có đường cao $BC$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$MC.MO=MB^2(1)$

Xét tam giác $MQB$ và $MBD$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MBQ}=\widehat{MDB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MQB\sim \triangle MBD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MQ}{MB}=\frac{MB}{MD}$

$\Rightarrow MQ.MD=MB^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow MQ.MD=MC.MO$ 

Hình vẽ:

Đề là đường kính AD hay sao nhỉ?

Mình làm tắt nha bạn không hiểu đâu thì hỏi lại nhé

a) MA, MB là tiếp tuyến

=> \(\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=90^o\) (t/c tiếp tuyến)

=> \(\widehat{OBM}+\widehat{OAM}=180^o\)

mà 2 góc đối nhau

=> tứ giác AOBM nội tiếp

=> 4 điểm A, O, B, M cùng thuộc 1 đường tròn

b) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAM vuông tại A đường cao AH

=> \(AM^2=MH.MO\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác DAM vuông tại A đường cao AC

=> \(AM^2=MC.MD\)

=> \(AM^2=MH.MO=MC.MD\)