a) \(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)\(-\sqrt{3-\sqrt{5}}\)\(=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}{\sqrt{2}}\)\(=\frac{\left|\sqrt{5}+1\right|-\left|\sqrt{5}-1\right|}{\sqrt{2}}\)\(=\)\(\frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\)\(=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Chứng minh phụ: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\) (trục căn thức ở mẫu)

                                   \(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n^2+2n+1-n^2-n\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào tính: \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\left(1+1\right)\sqrt{1}+1\sqrt{1+1}}+\frac{1}{\left(1+2\right)\sqrt{2}+2\sqrt{2+1}}+...+\frac{1}{\left(99+1\right)\sqrt{99}+99\sqrt{99+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

= 1 - 1/ căn 100

=1 - 1/10

= 9/10

Sorry nha cái này tớ chưa học nên hổng biết làm

\(\text{Trả lời : }\)

\(\text{Bạn tham khảo nha !}\)

Câu hỏi của Hàn Băng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

https://olm.vn/hoi-dap/detail/204748999615.html

Chúc bạn học tốt !

Ta có \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)

                                                                \(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)

                                                                \(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào A ta được

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

    \(=1-\frac{1}{10}\)

   \(=\frac{9}{10}\)

Incursion_03 đúng mẹ nó rồi nhé!

tui cx định tl nhưng nó tl trước ns chung nó đúng cmnr

......................?

mik ko biết

mong bn thông cảm 

nha ................

b/ Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}.\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

Cả 2 câu là n tự nhiên khác 0 hết nhé

a/ Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Áp đụng vào bài toán được

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1680}+\sqrt{1681}}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{1681}-\sqrt{1680}\)

\(=\sqrt{1681}-\sqrt{1}=41-1=40\)