\(\hept{\begin{cases}x+y=4\left(1\right)\\2x+3y=m\left(2\right)\end{cases}}\)

từ \(\left(1\right)\)ta có: \(x=4-y\)\(\left(3\right)\)

thay \(\left(3\right)\) vào  \(\left(2\right)\)ta được 

\(2.\left(4-y\right)+3y=m\)

\(8-2y+3y=m\)

\(8+y=m\)

\(y=m-8\) \(\left(4\right)\)

hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi pt \(\left(4\right)\)  có nghiệm duy nhất 

ta thấy pt (4) luôn có nghiệm duy nhất với \(\forall y\in R\)

vậy \(\forall y\in R\)thì hệ pt đã cho có nghiệm  \(\left(x;y\right)=\left(4-y;m-8\right)\)

theo bài ra \(\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4-y>0\\m-8< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>4\\m< 8\end{cases}}\)

vậy \(m< 8\)  là tập hợp các giá trị cần tìm 

Ta có :

\(\hept{\begin{cases}x+y=4\\2x+3y=m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\x+x+y+y+y=m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\4+4+y=m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-x\\8+4-x=m\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-12+m\\x=12-m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=m-8\\x=12-m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y=m-8+12-m=4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-8\\x=12-4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-4\\x=8\end{cases}}}\)

Thoả mãn \(x>0;y< 0\)

Vậy \(x=8\) và \(y=-4\)

Theo đề ta có hệ : 

\(\hept{\begin{cases}2x-y=3\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\y=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

=> \(\left(2m-1\right)\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-0,5\)

<=> m = 7/16

a) \(\hept{\begin{cases}2x+my=5\\3x-y=0\end{cases}\left(1\right)}\)

Thay m=0 vào (1) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=5\\3x-y=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\cdot3=y\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=\frac{15}{2}\end{cases}}}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\frac{m}{1}\ne\frac{1}{2}\Rightarrow2m\ne1\Rightarrow m\ne\frac{1}{2}\)

* Giải hệ theo m :

\(\hept{\begin{cases}mx+y=4\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2mx+2y=8\\x+2y=5\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2mx+x=3\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(2m+1\right)=3\\x+2y=5\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\\frac{3}{2m+1}+2y=5\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\2y=5-\frac{3}{2m+1}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\2y=\frac{10m-2}{2m+1}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\y=\frac{5m-1}{2m+1}\end{cases}}\)

Vì \(x>0\Rightarrow\frac{3}{2m+1}>0\Rightarrow2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Vì \(y>0\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}>0\)mà \(2m+1>0\Rightarrow5m-1>0\Rightarrow m>\frac{1}{5}\left(2\right)\)

Để \(y>x\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}>\frac{3}{2m+1}\)\(\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}-\frac{3}{2m+1}>0\)

\(\Rightarrow\frac{5m-1-3}{2m+1}>0\Rightarrow\frac{5m-4}{2m+1}>0\)

Mà \(2m+1>0\Rightarrow5m-4>0\Rightarrow m>\frac{4}{5}\)

Từ ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\)Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn y > x > 0 thì \(m>\frac{4}{5}\)

Giải xong muốn gãy tay :v

Để pt có nghiệm khi duy nhất khi \(\frac{1}{2}\ne-\frac{2}{1}\)* luôn đúng *

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x-2y=m+3\\2x+y=2m+1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-4y=2m+6\\2x+y=2m+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-5y=5\\x-2y=m+3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=-1\\x=m+1\end{cases}}}\)

Thay vào biểu thức trên ta có : \(3x+2y>3\Rightarrow3\left(m+1\right)-2>3\)

\(\Leftrightarrow3m+3-2>3\Leftrightarrow3m>2\Leftrightarrow m>\frac{2}{3}\)

\(\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\x-2y=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\2x-4y=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}5y=5m-10\\x-2y=2\end{cases}}}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow y=\frac{5m-10}{5}=m-2\)

Thay vào phương trình (2) ta được : 

\(x-2\left(m-2\right)=2\Leftrightarrow x=2+2m-4=2m-2\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 2m - 2 ; m - 2 ) (*)

Thay (*) vào biểu thức trên ta được : 

\(2\left(2m-2\right)^2-\left(m-2\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(4m^2-8m+4\right)-m^2+4m-4=4\)

\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-m^2+4m-4=4\)

\(\Leftrightarrow7m^2-12m=0\Leftrightarrow m\left(7m-12\right)=0\Leftrightarrow m=0;m=\frac{12}{7}\)

\(\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\2x-4y=4\end{cases}}\)

\(5y=5m-10\)

\(y=m-2\)

\(\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\2x-4y=4\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}2x+\left(m-2\right)=5m-6\\2x-4\left(m-2\right)=4\end{cases}}}\)

\(< =>x-2\left(m-2\right)=2\)

\(x-2m+4=2\)

\(x=2m-2\)

\(< =>2x^2-y^2=4\)

\(2\left(4m^2-8m+4\right)-\left(m^2-4m+4\right)\)

\(8m^2-16m+8-m^2+4m-4-4=0\)

\(7m^2-12m=0\)

\(m\left(7m-12\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=\frac{12}{7}\end{cases}}\)

từ \(\hept{\begin{cases}x< 1\\y< 6\end{cases}}\)ta có: \(\hept{\begin{cases}2x+y< 8\\3x+2y< 15\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3m+1< 8\\2m-3< 15\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m< \frac{7}{3}\\m< 9\end{cases}}\Rightarrow m< \frac{7}{3}\)

Vậy hệ phương trình thỏa mãn khi m<7/3