Đặt n = 2k , ta có                      ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)

\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)

\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)

\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)

\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)  là 3 số tự nhiên liên tiếp nên 

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3

Suy ra điều cần chứng minh

câu 1:

a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:

2k(2k+2) = 4k²+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2

b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z

• a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số chẵn hoặc có 2 số chẵn nên tích của chúng sẽ chia hết cho 2.

mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.

vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z

• vì là 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ tồn tại 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý a tích của chúng choa hết cho 8.
• tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
• tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.

vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.

câu 2:

a, a³ + 11a = a[(a² - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a

• (a - 1)a(a+1) chia hết cho 6 ( theo ý b câu 1)
• 12a chia hết cho 6.

vậy a³ + 11a chia hết cho 6.

b, ta có a³ - a = a(a² - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1) 

mn(m²-n²) = m³n - mn³ = m³n - mn + mn - mn³ = n( m³ - m) - m(n³ -n)

theo (1) mn(m²-n²) chia hết cho 3.

c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)

có biết đâu mà giúp, mong bạn thông cảm cho. Nhớ tick cho mình với

 do n > 3 => 2^n >= 2^4 chia hết cho 16 => 10a + b chia hết cho 16 

Ta có 2^n có thể có những tân cùng là 2; 4; 6; 8 

TH1 2^n có tận cùng là 2 => n = 4k+1 

=> 10a + b có tận cùng là 2 => b = 2 ( do b < 10) 

ta có 2^n = 10a + 2 => 2( 2^(4k) - 1) = 10a => 2^( 4k) - 1 = 5a 

do 2^(4k) - 1 chia hết cho 3 => 5a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3 

=> a.b = a.2 chia hết cho 6 (1) 

TH2 2^n có tận cùng là 4 => n = 4k +2 

=> 2^n = 10a + b có tận cùng là 4 => b = 4( do b <10) 

=> 2^(4k +2) = 10a + 4 => 4.2^(4k) - 4 = 10a 

=> 4(2^4k - 1) = 10 a 

ta có 2 ^4k -1chia hết cho 3 => 10a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3 

=> a.b chia hết cho 6 (2) 

Th3 2^n có tận cùng là 8 => n = 4k +3 

TH 3 2^n có tận cùng là 6 => n = 4k 

bằng cách làm tương tự ta luôn có a.b chia hết cho 6

tick cái nha

MÌNH KO viết đề nha

=3ⁿx3³+3ⁿx3+2ⁿx2²

=3ⁿ(3³+3)+2ⁿx2²

⁼

a_)3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ - 2ⁿ 

 =(3ⁿ⁺²+3ⁿ)+(-2ⁿ⁺²-2ⁿ)

=(3ⁿ.3²+3ⁿ.1)+(-2ⁿ.2²-2ⁿ+1)

=3ⁿ.(9+1)-2ⁿ.(4+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5

ta có 3ⁿ.10 chia hết cho 10 và 2ⁿ.5 chia hết cho 10( vì có thừa số 2 và 5)

=> 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 10.

á thế còn câu b thì sao pn mik cug cần

Ta có : 

\(3^{n+3}+2^{n+3}+2^{n+2}+3^{n+1}\)

\(=\)\(3^n.3^3+2^n.2^3+2^n.2^2+3^n.3\)

\(=\)\(3^n\left(3^3+3\right)+2^n\left(2^3+2^2\right)\)

\(=\)\(3^n\left(27+3\right)+2^n\left(8+4\right)\)

\(=\)\(3^n.30+2^n.12\)

\(=\)\(3^n.5.6+2^n.2.6\)

\(=\)\(6\left(3^n.5+2^n.2\right)\)

Vì \(6⋮6\) nên \(6\left(3^n.5+2^n.2\right)⋮6\)

Vậy \(3^{n+3}+2^{n+3}+2^{n+2}+3^{n+1}⋮6\) với mọi số nguyên dương n 

Chúc bạn học tốt ~