Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a) Xét \(\Delta\)ADE có:

ADE+DAE+AED=180^o (đl tổng ba góc \(\Delta\))

\(\Rightarrow\)AED=180^o-90^o-60^o

\(\Rightarrow\)AED=30^o

Ta có:

AD=\(\frac{1}{2}\)AE (t/c cạnh đối diện góc 30^o trong \(\Delta\)vuông) (1)

Mà AD=\(\frac{1}{3}\)AB

\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{3}\)(AD+BD)

\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{3}\)AD+\(\frac{1}{3}\)BD

\(\Rightarrow\)AD-\(\frac{1}{3}\)AD=\(\frac{1}{3}\)BD

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\)AD=\(\frac{1}{3}\)BD

\(\Rightarrow\)2AD=BD

\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{2}\)BD (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\)AE=BD

\(\Rightarrow\)AC-AE=AB-BD (AB=AC \(\Delta\)ABC đều)

\(\Rightarrow\)EC=AD

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)CEF có:

ADE=CÈ (=90^o)

EC=AD (cmt)

EAD=ECF (=60^o)

\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)CEF (g.c.g)

\(\Rightarrow\)AE=CF (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)AC-AE=BC-CF (AC=BC \(\Delta\)ABC đều)

\(\Rightarrow\)EC=BF

Mà EC=AD

\(\Rightarrow\)BF=AD

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)BFD có:

AD=BF (cmt)

DAE=DBF (=60^o)

AE=BD (cmt)

\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)BFD (c.g.c)

\(\Rightarrow\)ADE=BFD (2 góc tương ứng)

Mà ADE=90^o

\(\Rightarrow\)BFD=90^o

\(\Rightarrow\)DF \(\perp\)BC (đcm)

b) Vì \(\Delta\)ADE=\(\Delta\)CÈ

\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)BFD

\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)CEF=\(\Delta\)BFD

\(\Rightarrow\)DE=EF=FD (cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta\)DEF đều (đpcm)