4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

$ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

\(P=\left[\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)

\(\ge\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}+1\right)\)

\(\ge\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}\right)^6}\right]\)

\(=\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ab}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4bc}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ca}\right)^2}\right]\)

\(=343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left(abc\right)^2}\right)^2}\ge343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^2}\right)^2}=343\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

P/s: Em chưa check lại đâu nha::D

Khúc cuối bài ban nãy là \(\ge343\) nha! Em đánh nhầm

Cách khác (em thử dùng Holder, mới học nên em không chắc lắm):

\(P\ge\left(3+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3=\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]}}\right)^3\ge343\)

#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^

Ta có : \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)

Áp dụng BĐT :

\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)ta có :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có :

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\left(2\right)\)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được :

\(6=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)\(+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)

\(\Leftrightarrow P+\sqrt{3}.\sqrt{P}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{P}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{P}+2\sqrt{3}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow P\ge3\)

Vậy \(P_{min}=3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)

Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1

3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)

Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)

\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}+\frac{a+b+ab}{b+1}\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge2a-\frac{a\left(b+1\right)+b}{b+1}=2a-a-\frac{b}{b+1}=a-\frac{b}{b+1}\)
Mặt khác:
\(\frac{b}{b+1}\le\frac{b+1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge a-\left(\frac{b+1}{4}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{b^2\left(c+1\right)}{b+c+bc}\ge b-\left(\frac{c+1}{4}\right)\)
\(\frac{c^2\left(a+1\right)}{c+a+ca}\ge c-\left(\frac{a+1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{a+1}{4}+\frac{b+1}{4}+\frac{c+1}{4}\right)=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{\left(a+b+c\right)+3}{4}\right)=3-\left(\frac{3+3}{4}\right)=\frac{3}{2}\)Vậy GTNN của P=3/2 
(Thấy sai sai chỗ nào đó mà ko biết chỗ nào, ae thấy thì chỉ nhá )

đoạn bạn dùng cô si ấy hình như bị sai do nếu a=b=c=1 thì sao lại a^2(b+1)/(a+b+ab)=(a+b+ab)/(b+1)