Đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;2\right)\) bán kính \(R=3\)

Do d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến nên pt d' có dạng \(4x+3y+c=0\)

d' tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|-8+6+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\Rightarrow\left|c-2\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=17\\c=-13\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng d': \(\left[{}\begin{matrix}4x+3y+17=0\\4x+3y-13=0\end{matrix}\right.\)

Chọn \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\in d\)

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến T thì \(A'\left(a;2-a+\frac{1}{3}\right)\Rightarrow A'\left(a;\frac{7}{3}-a\right)\)

Do \(A'\in d'\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)+17=0\\4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-24\\a=-6\end{matrix}\right.\)

1.

Do \(\overrightarrow{v}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) nên \(\overrightarrow{v}=\left(a;a\right)\) với a là số thực khác 0

Chọn \(M\left(0;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=a+0=a\\y_{M'}=a+0=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;a\right)\)

Thay vào pt d' ta được:

\(a+a-4=0\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{v}=\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{2}\)

2.

Gọi \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\)

Gọi \(A\left(0;1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{u}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=a\\y_{A'}=b+1\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ A' vào pt d' ta được: \(a+b+1-5=0\Leftrightarrow a+b=4\)

Ta có:

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(a=b=2\)

d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến nên pt d' có dạng \(3x+4y+c=0\)

Gọi \(A\left(0;-\frac{5}{4}\right)\) là 1 điểm thuộc d, A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có \(A'\left(1;-\frac{17}{4}\right)\) mà A' thuộc d'

\(\Rightarrow3.1+4.\left(-\frac{17}{4}\right)+c=0\Rightarrow c=14\)

Phương trình d': \(3x+4y+14=0\)

\(d\left(d;d'\right)=d\left(A;d'\right)=\frac{\left|0+4\left(-\frac{17}{4}\right)+14\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{3}{5}\)

thanks bn nhiu nhesss!!!!

Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vecto

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'-3\end{matrix}\right.\)

do M (x' ; y') \(\in\) d nên

\(3x-5y+3=0\)

\(\Rightarrow3\left(x'-2\right)-5\left(y'-3\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow3x'-5y'+12=0\left(d'\right)\)

vậy \(M'\left(x';y'\right)\in d':3x'-5y'+12=0\)

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó \(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=3-1=2\\y'=5+2=7\end{matrix}\right.\)

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có: \(A=T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)\Leftrightarrow C=^T\overrightarrow{-v}\left(A\right)=\left(4;3\right)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = \(^T\overrightarrow{v}\) =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy \(^T\overrightarrow{v}\) (d) = d'.

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(^T\overrightarrow{v}\)(d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó \(^T\overrightarrow{v}\) (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8.

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó

(A) = A' ⇔

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có A = (C) ⇔ C= (A) = (4;3)

c)Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy (d) = d'

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi (d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8