\(a.\) 

\(\text{*)}\) Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho hai số thực dương  \(x,y,\)  ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)  (do  \(xy=1\)  )

\(\Rightarrow\)  \(3\left(x+y\right)\ge6\)

nên  \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)

\(\Rightarrow\)  \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)

\(\text{*)}\)  Tiếp tục áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\)  ta có:

\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)

Do đó,  \(D\ge6+5=11\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi  \(x=y=1\)

Vậy,  \(D_{min}=11\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây

b

\(8\sqrt{x-1}=4.2.\sqrt{x-1}.1\le4.\left(x-1+1\right)=4x\)

\(x.\sqrt{16-3x^2}\le\frac{x^2+16-3x^2}{2}=8-x^2\)

\(\Rightarrow y\le4x-x^2+8=-\left(x-2\right)^2+12\le12\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\)

Ta có: \(A^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\right)^2=x-1+3-x+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(A^2=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\le2+x-1+3-x=4\) (BĐT Cô - si)

Vì \(A^2\le4\) nên \(A\le\sqrt{4}=2\)

Max A = 2 <=> x-1=3-x <=> x=1

CTV kiểu gì đây ??? Nguyễn Hoàng Tiến ko xứng đáng chút nào!

Ta có A = \(4\sqrt{x}+3\sqrt{1-x}\)\(\le1\sqrt{\left(4^2+3^2\right)\left(x+1-x\right)}=5\)

Bên cạnh đó \(0\le x\le1\)

=> A\(\ge3\)

Vậy GTNN là A = 3 khi x = 0, GTLN là A = 5 khi x = \(\frac{16}{25}\)

Từ giả thiết: \(x+y=4\Leftrightarrow x=4-y\)

Khi đó ta có: \(H=\sqrt{4-y+1}+\sqrt{y-2}\)

\(H=\sqrt{5-y}+\sqrt{y-2}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki:

\(H^2=\left(\sqrt{5-y}+\sqrt{y-2}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2\right)\left(5-y+y-2\right)=6\)

\(\Leftrightarrow H\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(y=\dfrac{7}{2}\). Dựa vào điều kiện \(x+y=4\) suy ra được \(x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(max_H=\sqrt{6}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)

Ta có :

\(H=\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\)

\(\Leftrightarrow H^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\right)^2\)

Theo BĐT Bu nhi a cốp xki ta có :

\(H^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+y-2\right)=6\)

\(\Leftrightarrow H\le\sqrt{6}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y-2}\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy GTLN của H là \(\sqrt{6}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\) và \(y=\dfrac{7}{2}\)

Wish you study well !!!