bằng 4995 nha

\(999+888+777+666+555+444+333+222+111\)

\(=\left(999+111\right)+\left(888+222\right)+\left(777+333\right)+\left(666+444\right)+555\)

\(=1110+1110+1110+1110+555\)

\(=\left(1110\times4\right)+555\)

\(=4440+555\)

\(=4995\)

\(3A=9+99+....+99....99=10-1+10^2-1+...+10^{50}-1\)

\(=\left(10+10^2+...+10^{50}\right)-50\)

Đến đây dễ hơn rồi.

\(\frac{9}{5}B=9+99+...+99.99\)tương tự A

C tương tự A.

tự làm

Ôi, trang wed không tự nhận diện được công thức latex. Mình đăng lại bài giải:

a) Ta có

\(4T=\frac{4}{1+\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+...+\frac{4}{\sqrt{2013}+\sqrt{2017}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{5}+1}+...+\frac{\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2013}\right)\left(\sqrt{2017}-\sqrt{2013}\right)}{\sqrt{2017}+\sqrt{2013}}\)

\(=\sqrt{5}-1+\sqrt{9}-\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{9}+...+\sqrt{2017}-\sqrt{2013}\)

\(=\sqrt{2017}-1\)

\(\Rightarrow T=\frac{\sqrt{2017}-1}{4}\)

b) Ta có

\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}\sqrt{1}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{\sqrt{2}\sqrt{1}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tương tự ta có

\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

......................

\(\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Suy ra

\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

a)\[\begin{array}{l}
4T = \frac{4}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{4}{{\sqrt 5  + \sqrt 9 }} + ... + \frac{4}{{\sqrt {2013}  + \sqrt {2017} }}\\
 = \frac{{(\sqrt 5  + 1)(\sqrt 5  - 1)}}{{1 + \sqrt 5 }} + ... + \frac{{(\sqrt {2017}  + \sqrt {2013} )(\sqrt {2017}  - \sqrt {2013} )}}{{\sqrt {2013}  + \sqrt {2017} }}\\
 = \sqrt 5  - 1 + \sqrt 9  - \sqrt 5  + ... + \sqrt {2017}  - \sqrt {2013} \\
 = 1 + \sqrt 5  - \sqrt 5  + \sqrt 9  - \sqrt 9  + ... + \sqrt {2013}  - \sqrt {2013}  + \sqrt {2017} \\
 = 1 + \sqrt {2017} \\
 \Rightarrow T = \frac{{1 + \sqrt {2017} }}{4}
\end{array}\]

Nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng với liên hợp của nó ta được:

\(B=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{99-97}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+...+\sqrt{99}-\sqrt{97}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\sqrt{99}-\sqrt{3}\right)\)