a, Xét ∆AHC và ∆DHC có:

+CH chung

+\(\widehat{CHA}=\widehat{CHD}\left(=90^o\right)\)

+HA=HC(gt)

\(\Rightarrow\)∆HCA=∆HCD(ch-cgv)

a/ Xét tg vuông AHC và tg vuông DHC có

HC chung

HA = HD (gt)

=> tg AHC = tg DHC (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

b/ K là giao của AE và CD

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) ) (1)

tg AHC = tg DHC (cmt) => \(\widehat{DCH}=\widehat{ACB}\) (2)

Xét tg vuông ABH và tg vuông AEH có

AH chung; HB = HE (gt) => tg ABH = tg AEH (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{EAH}\) (3)

Từ (1) (2) (3) => \(\widehat{EAH}=\widehat{DCH}\) (4)

Xét tg vuông AHE có

\(\widehat{EAH}+\widehat{AEH}=90^o\) (5)

Mà \(\widehat{AEH}=\widehat{CEK}\) (góc đối đỉnh) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{DCH}+\widehat{CEK}=90^o\Rightarrow\widehat{AKC}=90^o\)

\(\Rightarrow AK\perp CD\) mà \(CH\perp AD\) => E là trực tâm của tg ADC 

c/

tg ABH = tg AEH (cmt) => AB = AE

tg AHC = tg DHC (cmt) => AC = CD

Xét tg ABC có

\(AB+AC>BC\) (trong tg tổng độ dài 2 cạnh lớn hớn độ dài cạnh còn lại)

\(\Rightarrow AE+CD>BC\)

Bài 3: 

a: Xét ΔAIB và ΔCID có

IA=IC

góc AIB=góc CID

IB=ID

Do đó: ΔAIB=ΔCID

b: Xét tứ giác ABCD có

I là trung điểm chung của AC và BD

nên ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD//BC va AD=BC

Bài 6: 

a: Xét ΔADB và ΔAEC có

AD=AE
góc A chung

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔAEC
SUy ra: BD=CE
b: Xét ΔEBC và ΔDCB có

EB=DC

BC chung

EC=BD

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: góc OBC=góc OCB

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

=>OE=OD

=>ΔOED cân tại O

c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC
nên ED//BC

a: Xét tứ giác BHCD có

M là trung điểm chung của BC và HD

=>BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

=>BH//CD và BD//CH

BH//CD

CA\(\perp\)BH

Do đó: \(CA\perp\)CD

=>ΔACD vuông tại C

BD//CH

AB\(\perp\)CH

Do đó: AB\(\perp\)BD

=>ΔABD vuông tại B

c: ΔBAD vuông tại B

mà BI là đường trung tuyến

nên IB=IA=ID(1)

ΔCAD vuông tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI=IA=ID(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC=ID

a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành:

Xét tứ giác BHCD:

    M là trung điểm của BC (gt)

   M là trung điểm của HD (gt)

    *Nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

    * Vậy tứ giác BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

b) Chứng minh tam giác ABD vuông tại B và tam giác ACD vuông tại C:

Xét hình bình hành BHCD:

   BH // CD (tính chất hình bình hành)

   CH // BD (tính chất hình bình hành)

Xét tam giác ABC:

    * AF là đường cao (gt) => AF vuông góc với BC

    * Mà BH // CD (cmt) => AF vuông góc với CD

Tương tự:

     CH // BD (cmt) => AF vuông góc với BD

Kết luận:

    * Tam giác ABD vuông tại B (AF vuông góc với BD)

    * Tam giác ACD vuông tại C (AF vuông góc với CD)

**c) Chứng minh IA=IB=IC=ID:**

* **Xét tam giác AHD:**

    * M là trung điểm của HD (gt)

    * I là trung điểm của AD (gt)

    * Nên IM là đường trung tuyến của tam giác AHD

    * Vậy IA = ID (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

* **Xét tam giác BCD:**

    * M là trung điểm của BC (gt)

    * I là trung điểm của AD (gt)

    * Nên IM là đường trung tuyến của tam giác BCD

    * Vậy IB = IC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

* **Kết luận:**

    * IA = IB = IC = ID

**Tóm lại:**

* Tứ giác BHCD là hình bình hành.

* Tam giác ABD vuông tại B và tam giác ACD vuông tại C. 

* IA = IB = IC = ID.

a: Xét ΔABC có AB<AC<BC

nên góc C<góc B<góc A

b: Xét ΔCDB có

CA,DK là trung tuyến

CA cắt DK tại M

=>M là trọng tâm

=>CM=2/3CA=16/3(cm)

c: Gọi giao của d với AC là N

d là trung trực của AC

=>d vuông góc AC tại N và N là trung điểm của AC

=>QN//AD

Xét ΔCAD có

N là trung điểm của AC

NQ//AD

=>Q là trung điểm của CD

Xét ΔCDB có

BQ là trung tuyến

M là trọng tâm

=>B,M,Q thẳng hàng

a, Ta có: AB < AC < BC

=> C < B< A

b, Xét tam giác BCD có CA và DK là đường trung tuyến

CA cắt DK tại M

=> M là trọng tâm tam giác BCD

=> MC= 2/3 AC= 2/3.8= 16/3 cm

c, Xét tam giác ABC và tam giác ADC có:

AB = AD

BAC= DAC= 90°AC chung

=> tam giác ABC = tam giác ADC (c.g.c)

=> ACB= ACD (2 góc tương ứng) và BC = DC ( 2 cạnh tương ứng) (1)

KQ là đường trung trực của AC

=> KQ vuông góc với AC tại E

Xét tam giác KCE và tam giác QCE có:

KCE= QCE

EC chung

KEC= QEC=90°

=> tam giác KCE = tam giác QCE (gcg)

=> KC = QC (2 cạnh tương ứng) (2)

Mà K là trung điểm BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra Q là trung điểm của DC

Xét tam giác BCD có M là trong tâm

=> M thuộc đường trung tuyến BQ

=> B, M, Q thẳng hàng

TÌM MỘT SỐ CÓ BÔN CHỮ SỐ,BIẾT CHỮ SỐ HÀNG TRĂM GẤP ĐÔI CHỮ SỐ HÀNG NGHÌN,CHỮ SỐ HÀNG CHỤC GẤP ĐÔI CHỮ SỐ HÀNG TRĂM, CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ LỚN HƠN CHỮ SỐ HÀNG CHỤC LÀ 3.

Từ câu b ta có BC=IH

\(\Rightarrow\) Tứ giác BCHI là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(\Rightarrow\) N là trung điểm BH và IC (2 đường chéo hbh cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Lại có \(AI=AB\Rightarrow A\) là trung điểm BI

\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác BIH

\(\Rightarrow\dfrac{GN}{IN}=\dfrac{1}{3}\) theo tính chất trọng tâm

\(\Rightarrow GN=\dfrac{1}{3}IN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{1}{6}IC\) (do N là trung điểm IC)

Theo câu a có \(\Delta CBI\) cân tại C \(\Rightarrow BC=IC\)

\(\Rightarrow GN=\dfrac{1}{6}BC\Rightarrow BC=6GN\)

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành