gọi xy=k^2 với k là hằng số.

Ta có: [(x+y)/2]^2 >=xy <=>(x+y)^2 >= 4xy <=> (x+y) >= 2k =>min(x+y)=2k<=>x=y=k.

a)Xét hai số dương tích bằng a( với a là hằng số):

ta có (x+y)^2 >= 4xy=4a <=> x=y

Vì x,y >0 nên x+y nhỏ nhất <=> x=y.

Lời giải:

Giả sử $x,y$ là 2 số dương có $x+y=a$ không đổi.

Ta có:

$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=(x+y)^2-[(x-y)^2+2xy]$

$4xy=(x+y)^2-(x-y)^2\leq (x+y)^2$ do $(x-y)^2\geq 0$

$\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{a^2}{4}$

Vậy $xy_{\max}=\frac{a^2}{4}$ khi $(x-y)^2=0$ hay $x=y$

Ta có đpcm.

+Gọi 2 số đó là a, b \(\left(a,b>0\right)\)

+Có: a, b ko đổi 

+Cần cm: \(\left(a+b\right)_{min}\Leftrightarrow a=b\)

+Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\\ \Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\\ \Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\\ \Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Có: \(\left(a+b\right)_{min}=2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\a+b=2\sqrt{ab}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)

help me

1) Gọi hai số đỏ là x+n và x-n [tổng luôn bằng 2x].

Ta có: \(\left(x+n\right)\left(x-n\right)=x^2-n^2\le x^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow n^2=0\) , nghĩa là 2 số bằng nhau (điều phải chứng minh).

2) Gọi hai số đó là x và y [tích là xy]

Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Vì x,y > 0 nên x + y nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow x=y\) (điều phải chứng minh)